3.33 Um circuito retificador de onda completa com R=1 \mathrm{k} \Omega opera a partir de uma rede elétrica de 120 \mathrm{~V}(\mathrm{rms}) / 60 \mathrm{~Hz} por meio de um transformador rebaixador de 5: 1 com terminal central. Ele utiliza dois diodos de silício que têm uma queda de 0,7 \mathrm{~V} para qualquer corrente. Qual a tensão de pico da saída retificada? Para qual fração do ciclo o diodo conduz? Qual a tensão média de saída? Qual a corrente média na carga?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Tensão da rede primária: 120\\ \mathrm{V} (rms), 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Transformador rebaixador com razão 5:1 (primário:secundário) e com centro-tap.
  • Cada diodo é de silício com queda fixa 0,7\\ \mathrm{V}.
  • Resistência de carga: R=1\\ \mathrm{k}\Omega.
O enunciado pede:
  1. A tensão de pico da saída retificada.
  2. Para qual fração do ciclo o diodo conduz (ou seja, a fração do período em que um dado diodo fica conduzindo).
  3. A tensão média (valor DC) da saída retificada.
  4. A corrente média na carga.

Passo 2

Entendendo a tensão disponível no secundário e em cada metade do enrolamento (o transformador com centro-tap divide a tensão secundária em duas metades iguais).
  1. Primeiro calcular a tensão RMS no secundário total:
V_{s,\mathrm{rms}}=\frac{120\\ \mathrm{V}}{5}=24\\ \mathrm{V}.
  1. Como há centro-tap, cada meia-espiro (cada metade) tem metade disso em RMS:
V_{h,\mathrm{rms}}=\frac{V_{s,\mathrm{rms}}}{2}= \frac{24}{2}=12\\ \mathrm{V}.
Aqui V_{h,\mathrm{rms}} é a tensão RMS de uma meia-enrolamento (aquele que alimenta um diodo quando positivo).
  1. Converter RMS para pico (amplitude) para a meia-enrolamento:
V_{h,\mathrm{p}}=V_{h,\mathrm{rms}}\sqrt{2}=12\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.
Vou manter alguns algarismos para os cálculos numéricos: 12\sqrt{2}\approx 16,971\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Tensão de pico da saída retificada (considerando a queda direta do diodo).
Explicação física curta: quando uma meia-enrolamento atinge seu pico positivo, o diodo correspondente conduz e a saída vê essa tensão de pico menos a queda do diodo (já que o diodo “consome” 0,7\\ \mathrm{V}). Portanto a tensão de pico na carga é:
V_{o,\mathrm{p}}=V_{h,\mathrm{p}}-V_D,
onde V_D=0,7\\ \mathrm{V} é a queda do diodo.
Substituindo numericamente:
V_{o,\mathrm{p}}=12\sqrt{2}-0,7\approx 16,971-0,7\approx 16,271\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Para qual fração do ciclo o diodo conduz — derivação e cálculo.
Ideia: uma meia-enrolamento fornece uma forma senoidal v_h(t)=V_{h,\mathrm{p}}\sin(\omega t). Um diodo conduz enquanto v_h(t) for maior que a tensão-limiar para que corrente apareça na saída. Com queda fixa V_D, o diodo conduz quando
V_{h,\mathrm{p}}\sin(\omega t)>V_D.
Definindo o ângulo de disparo
\theta_1=\arcsin\!\left(\frac{V_D}{V_{h,\mathrm{p}}}\right),
a condução ocorre para \omega t entre \theta_1 e \pi-\theta_1 durante a metade positiva dessa meia-enrolamento. Então a duração angular de condução por cada meia-enrolamento (por diodo, em um período 2\pi) é
\Delta\theta=\pi-2\theta_1.
A fração do ciclo (período T) que um diodo conduz é
\text{fração}=\frac{\Delta\theta}{2\pi}=\frac{\pi-2\theta_1}{2\pi}=\frac{1}{2}-\frac{\theta_1}{\pi}.çã
Agora os números: primeiro o quociente
\frac{V_D}{V_{h,\mathrm{p}}}=\frac{0,7}{12\sqrt{2}}\approx\frac{0,7}{16,971}\approx0,04126.
Logo
\theta_1=\arcsin(0,04126)\approx0,04128\\ \text{rad}\approx 2,37^\circ.
Portanto
\Delta\theta=\pi-2(0,04128)\approx 3,1416-0,08256\approx 3,05904\\ \text{rad}.
E a fração do ciclo:
\text{fração}=\frac{3,05904}{2\pi}\approx 0,4869\approx 48,7\%.çã
Interpretação rápida para não entrar em pânico: sem queda do diodo a condução seria exatamente metade do ciclo (50%). A queda de 0,7\\ \mathrm{V} reduz um pouco a janela de condução, levando a aproximadamente 48,7\% do período para cada diodo.

Passo 5

Tensão média (valor DC) da saída — derivação integral e cálculo numérico.
Explicação do método: a tensão de saída é v_o(t)=v_h(t)-V_D quando v_h(t)>V_D, e v_o(t)=0 quando v_h(t)\le V_D. Para achar a média sobre um período completo, integra-se a função ao longo do período e divide-se por T. É conveniente usar a simetria (duas metades idênticas por período) e integrar apenas uma dessas regiões de condução.
Fórmula (usando variável angular \theta=\omega t):
V_{o,\mathrm{avg}}=\frac{1}{2\pi}\left[2\int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}\bigl(V_{h,\mathrm{p}}\sin\theta - V_D\bigr)\,d\theta\right],
o fator 2 aparece porque há duas semiciclos idênticos por período (cada diodo fornece sua parte).
Simplificando:
V_{o,\mathrm{avg}}=\frac{1}{\pi}\left[\int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}V_{h,\mathrm{p}}\sin\theta\,d\theta - \int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}V_D\,d\theta\right].
Calcular as integrais:
\int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}V_{h,\mathrm{p}}\sin\theta\,d\theta =V_{h,\mathrm{p}}\bigl[-\cos\theta\bigr]_{\theta_1}^{\pi-\theta_1} =V_{h,\mathrm{p}}\bigl(-\cos(\pi-\theta_1)+\cos\theta_1\bigr).
Usando \cos(\pi-\theta_1)=-\cos\theta_1, obtemos
\int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}V_{h,\mathrm{p}}\sin\theta\,d\theta=2V_{h,\mathrm{p}}\cos\theta_1.
E
\int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}V_D\,d\theta=V_D(\pi-2\theta_1).
Portanto
V_{o,\mathrm{avg}}=\frac{1}{\pi}\Bigl(2V_{h,\mathrm{p}}\cos\theta_1 - V_D(\pi-2\theta_1)\Bigr).
Agora os valores numéricos:
  • V_{h,\mathrm{p}}=12\sqrt{2}\approx 16,971\\ \mathrm{V}.
  • \theta_1\approx 0,04128\\ \text{rad}, então \cos\theta_1\approx 0,999147.
    Calculemos os termos:
2V_{h,\mathrm{p}}\cos\theta_1 \approx 2\cdot16,971\cdot0,999147 \approx 33,909.
V_D(\pi-2\theta_1)\approx 0,7\cdot(3,1416-0,08256)\approx 0,7\cdot3,05904\approx 2,1413.
Substituindo:
V_{o,\mathrm{avg}}\approx\frac{33,909-2,1413}{\pi}\approx\frac{31,7677}{3,1416}\approx 10,11\\ \mathrm{V}.
Comentário intuitivo: se não houvesse queda de diodo, a média da retificação de onda completa de uma senoide é \dfrac{2V_{h,\mathrm{p}}}{\pi}\approx 10,80\\ \mathrm{V}. A queda dos diodos reduz esse valor para cerca de 10,11\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Corrente média na carga.
Com carga puramente resistiva R, a corrente instantânea é i(t)=v_o(t)/R. A corrente média (valor DC médio) é simplesmente a tensão média dividida por R (pois R é constante e linear):
I_{\mathrm{avg}}=\frac{V_{o,\mathrm{avg}}}{R}.
Substituindo V_{o,\mathrm{avg}}\approx 10,11\\ \mathrm{V} e R=1\\ \mathrm{k}\Omega=1000\\ \Omega:
I_{\mathrm{avg}}\approx\frac{10,11}{1000}\\ \mathrm{A}=0,01011\\ \mathrm{A}\approx 10,11\\ \mathrm{mA}.

Resposta

V_{o,\mathrm{p}}\approx 16,27\\ \mathrm{V}
fração do ciclo que um diodo conduz \approx 0,4869 (ou 48,7\%)
V_{o,\mathrm{avg}}\approx 10,11\\ \mathrm{V}
I_{\mathrm{avg}}\approx 10,11\\ \mathrm{mA}

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