3.34 Um circuito retificador de onda completa \operatorname{com} R=1 \mathrm{k} \Omega opera a partir de uma rede elétrica de 120 \mathrm{~V}(\mathrm{rms}) / 60 \mathrm{~Hz} por meio de um transformador rebaixador de 10:1. Ele utiliza quatro diodos de silício que têm uma queda de 0,7 \mathrm{~V} para qualquer corrente. Qual a tensão de pico da saída retificada? Para qual fração do ciclo o diodo conduz? Qual a tensão média de saída? Qual a corrente média na carga?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede quatro coisas:
Dados fornecidos:
  • Tensão da rede: 120\\ \mathrm{V} (rms) a 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Transformador rebaixador de razão 10\!:\!1 (ou seja, a tensão no secundário é 1/10 da primária).
  • Resistência de carga: R=1\\ \mathrm{k}\Omega.
  • Queda em cada diodo de silício: V_D=0,7\\ \mathrm{V} (constante, independente da corrente).
  • Configuração: retificador de onda completa usando quatro diodos (ponte).
Perguntas que o exercício faz:
  1. Qual a tensão de pico da saída retificada?
  2. Para qual fração do ciclo o diodo conduz?
  3. Qual a tensão média de saída?
  4. Qual a corrente média na carga?

Passo 2

Primeiro passo prático: achar a tensão no secundário do transformador e seu valor de pico.
  • A tensão secundária (rms) é a décima da primária:
V_{s,\text{rms}}=\frac{120}{10}=12\\ \mathrm{V}.
  • A relação entre valor de pico V_p e valor rms é V_p=V_{\text{rms}}\sqrt{2}. Aqui:
V_p = 12\sqrt{2}.
Vou explicar rapidamente essa relação: para uma senóide v(t)=V_p\sin(\omega t), o valor rms é definido por \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt}=\frac{V_p}{\sqrt{2}}. Invertendo, V_p=V_{\text{rms}}\sqrt{2}.
Numericamente:
V_p = 12\sqrt{2}\approx 12\times1{,}41421356 \approx 16{,}97\\ \mathrm{V}.
Esse V_p é a amplitude da tensão senoidal no secundário antes de qualquer queda nos diodos.

Passo 3

Agora calcular a tensão de pico disponível na saída do retificador em ponte.
Na ponte de quatro diodos, em cada meio-ciclo circulam duas junções em condução (uma do ramo que entrega positivo ao carregamento e outra que fecha o retorno). Portanto a queda total nas junções em condução é:
V_{D,\text{total}}=2V_D=2\times0{,}7=1{,}4\\ \mathrm{V}.
A tensão de pico da saída (quando a senóide atinge pico e os diodos estão conduzindo) é a diferença entre o pico do secundário e essa queda:
V_{o,\text{pico}}=V_p - V_{D,\text{total}} = 12\sqrt{2} - 1{,}4.
Substituindo numericamente:
V_{o,\text{pico}}\approx 16{,}97 - 1{,}4 = 15{,}57\\ \mathrm{V}.
Explicação curta: no instante de pico, a fonte entrega V_p, mas dois diodos “consomem” 1{,}4\\ \mathrm{V}, sobrando 15{,}57\\ \mathrm{V} na carga.

Passo 4

Determinar para que fração do ciclo os diodos conduzem.
Condição de condução: em qualquer instante a magnitude instantânea da tensão do secundário |v_s(t)| deve ser maior que a queda necessária para vencer as junções, isto é:
|v_s(t)| > 2V_D.
Escrevendo v_s(t)=V_p\sin(\omega t), a condição de condução é
V_p|\sin\theta| > 2V_D,
onde \theta=\omega t. Definindo o ângulo de limite \theta_1 pela igualdade,
\sin\theta_1 = \frac{2V_D}{V_p}.
Quando |\sin\theta|\le \sin\theta_1 os diodos estão bloqueados (sem corrente) e a saída fica zero; quando |\sin\theta|>\sin\theta_1 há condução.
Agora vamos achar a fração do período em que há condução. Em um semiperíodo positivo a senóide é positiva para 0\le\theta\le\pi; a condução ocorre entre \theta=\theta_1 e \theta=\pi-\theta_1. Assim a duração de condução num semiperíodo é \pi-2\theta_1. Como o retificador é de onda completa, o mesmo acontece no semiperíodo negativo (com os diodos opostos), logo a duração total de condução por período T é 2(\pi-2\theta_1).
A fração do ciclo durante a qual há condução é então
\text{fração} = \frac{2(\pi-2\theta_1)}{2\pi} = 1 - \frac{2\theta_1}{\pi}.çã
Vamos calcular numericamente. Primeiro:
\frac{2V_D}{V_p}=\frac{1{,}4}{16{,}97}\approx 0{,}082536.
Logo
\theta_1=\arcsin\!\left(0{,}082536\right)\approx 0{,}08261\\ \text{rad}.
Substituindo em \text{fração}çã:
\text{fração}=1-\frac{2\times0{,}08261}{\pi}\approx 1-\frac{0{,}16522}{3{,}14159}\approx 1-0{,}05261\approx 0{,}9474.çã
Convertendo para porcentagem: aproximadamente 94{,}74\% do ciclo com diodo conduzindo. Intuição: como a queda dos diodos é pequena em relação ao pico da senóide, a condução ocorre na maior parte do ciclo, faltando apenas pequenas regiões próximas das passagens por zero.

Passo 5

Calcular a tensão média de saída V_{o,\text{méd}}é.
Definição: a tensão média sobre um período T é
V_{o,\text{méd}}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} v_o(\theta)\,d\theta,é
onde v_o(\theta) é a função periódica da saída em função de \theta=\omega t.
Como já vimos, a saída vale zero quando V_p|\sin\theta|\le 2V_D, e vale V_p|\sin\theta|-2V_D quando V_p|\sin\theta|>2V_D. Usando a simetria, podemos escrever a média como duas vezes a integral no primeiro semiperíodo positivo:
V_{o,\text{méd}}=\frac{1}{2\pi}\cdot 2\int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}\bigl(V_p\sin\theta-2V_D\bigr)\,d\theta = \frac{1}{\pi}\left[\int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}V_p\sin\theta\,d\theta - \int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}2V_D\,d\theta\right].é
Calcule as integrais separadamente.
  1. Integral da senóide:
\int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}V_p\sin\theta\,d\theta = V_p\bigl[-\cos\theta\bigr]_{\theta_1}^{\pi-\theta_1} = V_p\bigl(-\cos(\pi-\theta_1)+\cos\theta_1\bigr).
Usando \cos(\pi-\theta_1)=-\cos\theta_1, isso vira
=V_p\bigl(-(-\cos\theta_1)+\cos\theta_1\bigr)=2V_p\cos\theta_1.
  1. Integral da constante:
\int_{\theta_1}^{\pi-\theta_1}2V_D\,d\theta = 2V_D(\pi-2\theta_1).
Portanto:
V_{o,\text{méd}}=\frac{1}{\pi}\Bigl(2V_p\cos\theta_1 - 2V_D(\pi-2\theta_1)\Bigr) = \frac{2}{\pi}\Bigl(V_p\cos\theta_1 - V_D(\pi-2\theta_1)\Bigr).é
Agora substituímos os números já calculados:
  • V_p\approx 16{,}97\\ \mathrm{V}.
  • \theta_1\approx 0{,}08261\\ \mathrm{rad}.
  • \cos\theta_1\approx \cos(0{,}08261)\approx 0{,}99659.
  • V_D=0{,}7\\ \mathrm{V}.
Calculando passo a passo:
V_p\cos\theta_1 \approx 16{,}97\times0{,}99659 \approx 16{,}907.
\pi-2\theta_1 \approx 3{,}14159 - 0{,}16522 = 2{,}97637.
V_D(\pi-2\theta_1)\approx 0{,}7\times2{,}97637 \approx 2{,}08346.
V_p\cos\theta_1 - V_D(\pi-2\theta_1) \approx 16{,}907 - 2{,}08346 = 14{,}82354.
Finalmente
V_{o,\text{méd}} = \frac{2}{\pi}\times 14{,}82354 \approx 0{,}63662\times14{,}82354 \approx 9{,}437\\ \mathrm{V}.é
Arredondando razoavelmente, a tensão média de saída é aproximadamente 9{,}44\\ \mathrm{V}.
Observação didática: se os diodos fossem ideais sem queda ( V_D=0), recuperaríamos a fórmula conhecida para retificador de onda completa sem filtro
V_{o,\text{méd}}=\frac{2V_p}{\pi},é
que para V_p=16{,}97\\ \mathrm{V} daria \approx10{,}80\\ \mathrm{V}. A queda dos diodos reduz esse valor para \approx9{,}44\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcular a corrente média na carga.
Como a carga é resistiva e a tensão média sobre a carga é V_{o,\text{méd}}é, a corrente média (valor DC médio) é
I_{\text{méd}}=\frac{V_{o,\text{méd}}}{R}.éé
Substituindo V_{o,\text{méd}}\approx 9{,}437\\ \mathrm{V}é e R=1\\ \mathrm{k}\Omega=1000\\ \Omega:
I_{\text{méd}}\approx\frac{9{,}437}{1000}\\ \mathrm{A} \approx 0{,}009437\\ \mathrm{A} = 9{,}44\\ \mathrm{mA}.é
Interpretação: isso é a corrente média contínua que a carga recebe do retificador sem filtro.

Resposta

V_{o,\text{pico}}\approx 15{,}57\\ \mathrm{V}
Fração do ciclo em condução \approx 0{,}9474 (ou 94{,}74\%)
V_{o,\text{méd}}\approx 9{,}44\\ \mathrm{V}é
I_{\text{méd}}\approx 9{,}44\\ \mathrm{mA}é

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