9.33 Um circuito RL sem fonte de fem tem uma corrente inicial dada por I_{o}. Determine a corrente no instante t.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RL sem fonte de tensão externa (sem fem) em que, no instante inicial t=0, a corrente vale I_{o}. Queremos achar a expressão de i(t). O conteúdo usado aqui é análise de transitórios em circuitos RL, via equação diferencial de primeira ordem e constante de tempo \tau = L/R.

Passo 2

Pela segunda lei de Kirchhoff, a soma das quedas de tensão no resistor e no indutor é zero:
v_R + v_L = 0.
Como v_R = R\,i(t) e v_L = L\,\frac{di}{dt}, a equação fica
R\,i(t) + L\,\frac{di}{dt} = 0.

Passo 3

Reescrevendo na forma padrão e separando variáveis:
\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\,i = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{i}\,di = -\frac{R}{L}\,dt.
Integramos de t=0 a t e de i=I_{o} a i=i(t):
\int_{I_{o}}^{i(t)}\frac{1}{i}\,di = -\frac{R}{L}\int_{0}^{t}dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl(\tfrac{i(t)}{I_{o}}\bigr) = -\frac{R}{L}\,t.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados, obtemos
i(t) = I_{o}\,\exp\!\Bigl(-\frac{R}{L}\,t\Bigr).
Usando a constante de tempo \tau = \tfrac{L}{R}, isso também pode ser escrito como
i(t) = I_{o}\,e^{-t/\tau}.

Resposta

i(t) = I_{o}\,\exp\bigl(-\tfrac{R}{L}\,t\bigr)

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