Q3: Sabendo que o ponto ( 3,2,-1, k ) pertence ao plano (-2,-3,2,-2)+\operatorname{span}\{(3,3,-1,-2),(1,1,-1,2)\}, assinale o valor de k :
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado diz que o ponto (3,2,-1,k) está no plano
(-2,-3,2,-2)+\operatorname{span}\{(3,3,-1,-2),(1,1,-1,2)\}.
Isso significa que existem escalares a e b tais que
(-2,-3,2,-2)+a\,(3,3,-1,-2)+b\,(1,1,-1,2)=(3,2,-1,k).
Vamos usar essa ideia de combinação afim para determinar a, b e depois k.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} -2 + 3a + b = 3,\\\\ -3 + 3a + b = 2,\\\\ 2 - a - b = -1,\\\\ -2 - 2a + 2b = k. \end{cases}
Note que as duas primeiras equações são equivalentes, pois ambas dão
3a + b = 5.

Passo 3

Ficamos então com
\begin{cases} 3a + b = 5,\\\\ 2 - a - b = -1. \end{cases}
Da segunda tira-se
-a - b = -3 \quad\Longrightarrow\quad a + b = 3.
Agora
\begin{cases} 3a + b = 5,\\\ a + b = 3. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira vem 2a=2, então
a=1 \quad\text{e}\quad b=3-1=2.

Passo 4

Por fim, na quarta equação temos
k = -2 - 2a + 2b = -2 - 2\cdot1 + 2\cdot2 = -2 -2 +4 = 0.

Resposta

k=0, alternativa (D).

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