S = \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4}\mid 5x_{3}+x_{4}=5\}.
Esse é um subespaço afim de dimensão 3, pois impõe uma única equação linear. Para descrevê-lo como
p + \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}
precisamos:
Encontrar uma solução particular p de 5x_{3}+x_{4}=5.
Encontrar uma base \{v_{1},v_{2},v_{3}\} do núcleo da aplicação A(x)=5x_{3}+x_{4}, ou seja, solução de 5x_{3}+x_{4}=0.
Passo 2
Resolvendo o homogêneo
5x_{3}+x_{4}=0
parametrizamos por x_{1}=s, x_{2}=t, x_{3}=u livres e x_{4}=-5u. Logo
\ker A = \bigl\{(s,t,u,-5u) \mid s,t,u\in\mathbb{R}\bigr\} =\operatorname{span}\bigl\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,-5)\bigr\},
dimensão 3.
Passo 3
Bastaria achar um p tal que 5p_{3}+p_{4}=5. Por exemplo, tomando p_{1}=0, p_{2}=0, p_{3}=1, p_{4}=0, temos
5\cdot1+0=5,
logo um particular é p=(0,0,1,0).
Passo 4
Cada alternativa lista um ponto base e três vetores. Para ser correta, o ponto base deve satisfazer 5x_{3}+x_{4}=5 e cada vetor do span deve satisfazer 5x_{3}+x_{4}=0. Testando rapidamente as opções recai-mos na (F):
Ponto base (-1,-3,3,-10) dá 5\cdot3+(-10)=5.
Vetores \;(0,0,1,-5), (0,-7,0,0), (7,0,0,0);todos satisfazem 5x_{3}+x_{4}=0 e são linearmente independentes.