2.33 Exercício. Determine os valores de a e b para os quais o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 a \\\ x+b y+z=a \\\\ 2 x+3 y=3 a \end{array}\right.
a) não possui solução;
b) possui infinitas soluções e determine todas elas;
c) possui uma solução única e determine ela.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei as equações do enunciado):
\begin{cases} x+y+z=2a,\\[4pt] x+b y+z=a,\\[4pt] 2x+3y=3a. \end{cases}
O enunciado pede:
a) determinar para quais valores de a e b o sistema não possui solução;
b) determinar para quais valores de a e b o sistema possui infinitas soluções e, nesse caso, encontrar todas as soluções;
c) determinar para quais valores de a e b o sistema possui solução única e, nesse caso, encontrar essa solução.]

Passo 2

Estratégia básica (explicação didática): para sistemas lineares é comum eliminar variáveis combinando equações. Se ao eliminar alguma variável obtivermos uma igualdade impossível (por exemplo 0 = c com c\neq0), então o sistema é incompatível (sem solução). Se ao eliminar aparecer uma equação identicamente 0=0 e houver menos equações independentes que incógnitas, teremos infinitas soluções com parâmetros livres. Caso contrário, obtemos solução única.
Aplicando eliminação simples: subtraio a segunda equação da primeira para eliminar x e z. Isso é útil porque as duas primeiras equações têm coeficientes iguais para x e z.
Faço (\text{Eq1}) - (\text{Eq2}):
(x-x) + (1-b)y + (z-z) = 2a - a,
logo
(1-b)\,y = a.
Observação didática: essa equação resulta diretamente da diferença entre as duas primeiras; ela isola y multiplicado por 1-b. Agora temos que considerar se 1-b é zero ou não — é a diferença entre dois casos fundamentais.

Passo 3

Caso 1: b \neq 1.
Se b\neq1 então (1-b)\neq0 e podemos dividir por 1-b para obter
y = \frac{a}{1-b}.
Agora uso a terceira equação para obter x. A terceira equação é \,2x+3y=3a\,. Substituo y:
2x + 3\cdot\frac{a}{1-b} = 3a.
Isolo x:
2x = 3a - \frac{3a}{1-b} = 3a\left(1 - \frac{1}{1-b}\right).
Explico o passo: para somar/subtrair frações, colocamos denominador comum. Continuando:
1 - \frac{1}{1-b} = \frac{1-b - 1}{1-b} = \frac{-b}{1-b},
portanto
2x = 3a\cdot\frac{-b}{1-b} = -\frac{3ab}{1-b}.
Dividindo por 2,
x = -\frac{3ab}{2(1-b)}.
Agora calculo z usando a primeira equação \,x+y+z=2a. Substituo x e y:
z = 2a - x - y = 2a - \left(-\frac{3ab}{2(1-b)}\right) - \frac{a}{1-b}.
Para somar as frações, coloco tudo sobre o mesmo denominador 2(1-b):
2a = \frac{4a(1-b)}{2(1-b)},\qquad -\frac{3ab}{2(1-b)} \text{ já tem esse denominador},\qquad -\frac{a}{1-b} = -\frac{2a}{2(1-b)}.á
Somando numeradores:
z = \frac{4a(1-b) + 3ab - 2a}{2(1-b)}.
Faço a conta no numerador: 4a(1-b)=4a-4ab, então
4a-4ab + 3ab - 2a = (4a-2a) + (-4ab+3ab) = 2a - ab = a(2-b).
Logo
z = \frac{a(2-b)}{2(1-b)}.
Resumo do caso b\neq1: há uma solução que é única (nenhuma liberdade) e é
y = \frac{a}{1-b},\qquad x = -\frac{3ab}{2(1-b)},\qquad z = \frac{a(2-b)}{2(1-b)}.
Para checar (boa prática de prova): pode-se substituir essas expressões nas três equações; as contas fecham (confere-se facilmente ao colocar tudo sobre o denominador 2(1-b)). Portanto para b\neq1 o sistema é compatível determinado (solução única).

Passo 4

Caso 2: b = 1.
Se b=1, a equação que obtivemos em

Passo 5

(1-1)\,y = a \quad\Rightarrow\quad 0\cdot y = a,
ou seja [0 = a). Daí surgem duas subpossibilidades:
  • Se a \neq 0, então 0 = a é falso. Isso significa que as duas primeiras equações são contraditórias e o sistema é impossível (sem solução). Explicando: para b=1 as duas primeiras equações são idênticas em termos de x,y,z à esquerda, mas com termos independentes diferentes quando a\neq0, gerando contradição.
  • Se a = 0, então a igualdade 0=a é satisfeita e as duas primeiras equações coincidem. Substituo b=1 e a=0 nas equações originais para ver o sistema reduzido:
\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] x+y+z=0,\\[4pt] 2x+3y=0. \end{cases}
A segunda é repetida da primeira, então ficamos com duas equações independentes para três incógnitas. Isso normalmente dá infinitas soluções com um parâmetro livre.
Resolvendo esse caso b=1,\\ a=0\]: da terceira equação, \[2x+3y=0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{3}{2}y.\] Substituo em \(x+y+z=0:
-\frac{3}{2}y + y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2}y + z = 0,
então
z = \frac{1}{2}y.
Escolho um parâmetro para expressar a família de soluções. Se eu deixo y como parâmetro t\in\mathbb{R}, então
(x,y,z)=\left(-\frac{3}{2}t,\; t,\; \frac{1}{2}t\right).
Para evitar frações ao apresentar, posso reparametrizar com t=2k, k\in\mathbb{R}, obtendo
(x,y,z) = k(-3,\,2,\,1),\qquad k\in\mathbb{R}.
Portanto, para b=1 e a=0 há infinitas soluções, descritas pela reta parametrizada acima.]

Passo 6

Conclusão (classificação final):
  • Para b\neq1: sistema tem solução única dada por
\left(x,y,z\right)=\left(-\dfrac{3ab}{2(1-b)},\\ \dfrac{a}{1-b},\\ \dfrac{a(2-b)}{2(1-b)}\right).
  • Para b=1 e a\neq0: sistema incompatível (sem solução).
  • Para b=1 e a=0: sistema possui infinitas soluções, dadas por
(x,y,z)=k(-3,\,2,\,1),\qquad k\in\mathbb{R}.
Força aí — é só organizar esse raciocínio na prova e lembrar de tratar separadamente o caso b=1, que é o ponto chave.

Resposta

a) Não possui solução para b=1 e a\neq0.
b) Possui infinitas soluções para b=1 e a=0; todas as soluções são (x,y,z)=k(-3,2,1) com k\in\mathbb{R}.
c) Possui solução única para b\neq1, dada por \displaystyle x=-\frac{3ab}{2(1-b)},\quad y=\frac{a}{1-b},\quad z=\frac{a(2-b)}{2(1-b)}.

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