O enunciado pede:
a) determinar para quais valores de a e b o sistema não possui solução;
b) determinar para quais valores de a e b o sistema possui infinitas soluções e, nesse caso, encontrar todas as soluções;
c) determinar para quais valores de a e b o sistema possui solução única e, nesse caso, encontrar essa solução.]
Passo 2
Estratégia básica (explicação didática): para sistemas lineares é comum eliminar variáveis combinando equações. Se ao eliminar alguma variável obtivermos uma igualdade impossível (por exemplo 0 = c com c\neq0), então o sistema é incompatível (sem solução). Se ao eliminar aparecer uma equação identicamente 0=0 e houver menos equações independentes que incógnitas, teremos infinitas soluções com parâmetros livres. Caso contrário, obtemos solução única.
Aplicando eliminação simples: subtraio a segunda equação da primeira para eliminar x e z. Isso é útil porque as duas primeiras equações têm coeficientes iguais para x e z.
Faço (\text{Eq1}) - (\text{Eq2}):
(x-x) + (1-b)y + (z-z) = 2a - a,
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(1-b)\,y = a.
Observação didática: essa equação resulta diretamente da diferença entre as duas primeiras; ela isola y multiplicado por 1-b. Agora temos que considerar se 1-b é zero ou não — é a diferença entre dois casos fundamentais.
Passo 3
Caso 1: b \neq 1.
Se b\neq1 então (1-b)\neq0 e podemos dividir por 1-b para obter
y = \frac{a}{1-b}.
Agora uso a terceira equação para obter x. A terceira equação é \,2x+3y=3a\,. Substituo y:
Resumo do caso b\neq1: há uma solução que é única (nenhuma liberdade) e é
y = \frac{a}{1-b},\qquad x = -\frac{3ab}{2(1-b)},\qquad z = \frac{a(2-b)}{2(1-b)}.
Para checar (boa prática de prova): pode-se substituir essas expressões nas três equações; as contas fecham (confere-se facilmente ao colocar tudo sobre o denominador 2(1-b)). Portanto para b\neq1 o sistema é compatível determinado (solução única).
Passo 4
Caso 2: b = 1.
Se b=1, a equação que obtivemos em
Passo 5
(1-1)\,y = a \quad\Rightarrow\quad 0\cdot y = a,
ou seja [0 = a). Daí surgem duas subpossibilidades:
Se a \neq 0, então 0 = a é falso. Isso significa que as duas primeiras equações são contraditórias e o sistema é impossível (sem solução). Explicando: para b=1 as duas primeiras equações são idênticas em termos de x,y,z à esquerda, mas com termos independentes diferentes quando a\neq0, gerando contradição.
Se a = 0, então a igualdade 0=a é satisfeita e as duas primeiras equações coincidem. Substituo b=1 e a=0 nas equações originais para ver o sistema reduzido:
A segunda é repetida da primeira, então ficamos com duas equações independentes para três incógnitas. Isso normalmente dá infinitas soluções com um parâmetro livre.
Resolvendo esse caso b=1,\\ a=0\]: da terceira equação,
\[2x+3y=0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{3}{2}y.\]
Substituo em \(x+y+z=0:
-\frac{3}{2}y + y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2}y + z = 0,
então
z = \frac{1}{2}y.
Escolho um parâmetro para expressar a família de soluções. Se eu deixo y como parâmetro t\in\mathbb{R}, então
Para b=1 e a\neq0: sistema incompatível (sem solução).
Para b=1 e a=0: sistema possui infinitas soluções, dadas por
(x,y,z)=k(-3,\,2,\,1),\qquad k\in\mathbb{R}.
Força aí — é só organizar esse raciocínio na prova e lembrar de tratar separadamente o caso b=1, que é o ponto chave.
Resposta
a) Não possui solução para b=1 e a\neq0.
b) Possui infinitas soluções para b=1 e a=0; todas as soluções são (x,y,z)=k(-3,2,1) com k\in\mathbb{R}.
c) Possui solução única para b\neq1, dada por \displaystyle x=-\frac{3ab}{2(1-b)},\quad y=\frac{a}{1-b},\quad z=\frac{a(2-b)}{2(1-b)}.