3.33 For each system
and the functions
given below, determine if each of the
is an eigenfunction of
, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
, and
, where
denotes the derivative operator and
is a real constant;
Passo 1
O enunciado pede: para cada função
verificar se é um autovetor (autofunção) do operador
e, se for, indicar o autovalor correspondente. As informações fornecidas são:
- O operador
atua como derivação: . - As funções:
-
, -
(interpretei o expoente como ), -
.
-
- A constante
é real.
Passo 2
Definição que vamos usar (passo fundamental, tipo checklist): uma função
é autofunção do operador
se existe um escalar
tal que
para todo
no domínio. Esse
é o autovalor associado. Em palavras: ao derivar
obtém-se exatamente a mesma função multiplicada por um número (que não depende de
).
Passo 3
Resolver a equação de autovalor geral para
. Queremos funções que satisfaçam
Isto é uma EDO simples de primeira ordem. Podemos separar variáveis ou reconhecer que a solução geral é exponencial. Fazendo separação:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante. Exponenciando:
com
constante arbitrária (não nula para função não trivial). Portanto, as funções que são autofunções de
têm a forma
. Em particular,
é autofunção com autovalor
. Observação útil: funções constantes correspondem ao caso
(pois derivada de constante é zero).
Passo 4
Aplicando ao
.
Calcular a derivada (regra básica: derivada de exponencial
; aqui
e
):
Compare com a forma
:
Como o fator
é um número que não depende de
,
satisfaz a condição de autofunção. Conclusão:
é autofunção de
com autovalor
.
Passo 5
Aplicando ao
.
Calcular a derivada usando a regra da cadeia:
então
. Assim
Escrevendo em termos de
:
Aqui o fator que multiplica
é
, que depende de
. Para que
seja autofunção precisamos de um escalar
que NÃO dependa de
satisfazendo
. Isso só ocorre se
for constante em
. Como
varia, a única maneira de
ser independente de
é ter
(nesse caso
para todo
). Portanto:
- Se
: não é autofunção de . - Se
: (constante), e . Nesse caso é autofunção com autovalor .
Passo 6
Aplicando ao
(constante).
Derivada de constante é zero:
Escrevendo em termos de
:
O fator
é um escalar (independente de
), então
é autofunção com autovalor
. Observação intuitiva: qualquer função constante não nula é autofunção de
com autovalor
.
Passo 7
Recapitulando de forma direta e limpa (pronto para a prova):
-
é autofunção de para todo , com autovalor . -
não é autofunção se . Se então torna-se a constante e é autofunção com . -
é autofunção com autovalor .