3.33 For each system \mathscr{K} and the functions \left\{x_{k}\right\} given below, determine if each of the x_{k} is an eigenfunction of \mathscr{K}, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
\mathcal{H}\left(x(t)=\mathcal{D} x(t), x_{1}(t)=e^{a t}, x_{2}(t)=e^{a \mathrm{r}^{2}}\right., and x_{3}(t)=42, where \mathcal{D} denotes the derivative operator and a is a real constant;

Passo 1

O enunciado pede: para cada função x_k(t) verificar se é um autovetor (autofunção) do operador \mathscr{K} e, se for, indicar o autovalor correspondente. As informações fornecidas são:
  • O operador \mathscr{K} atua como derivação: \mathscr{K}(x(t))=\mathcal{D}x(t)=\dfrac{d}{dt}x(t).
  • As funções:
    • x_{1}(t)=e^{a t},
    • x_{2}(t)=e^{a t^{2}} (interpretei o expoente como a t^{2}),
    • x_{3}(t)=42.
  • A constante a é real.

Passo 2

Definição que vamos usar (passo fundamental, tipo checklist): uma função x(t) é autofunção do operador \mathcal{D} se existe um escalar \lambda tal que
\mathcal{D}x(t)=\lambda\,x(t)
para todo t no domínio. Esse \lambda é o autovalor associado. Em palavras: ao derivar x obtém-se exatamente a mesma função multiplicada por um número (que não depende de t).

Passo 3

Resolver a equação de autovalor geral para \mathcal{D}. Queremos funções que satisfaçam
\frac{d}{dt}x(t)=\lambda\,x(t).
Isto é uma EDO simples de primeira ordem. Podemos separar variáveis ou reconhecer que a solução geral é exponencial. Fazendo separação:
\frac{dx}{x}=\lambda\,dt.
Integrando ambos os lados:
\ln|x(t)|=\lambda t + C,
onde C é constante. Exponenciando:
x(t)=C_1 e^{\lambda t},
com C_1 constante arbitrária (não nula para função não trivial). Portanto, as funções que são autofunções de \mathcal{D} têm a forma C_1 e^{\lambda t}. Em particular, e^{\lambda t} é autofunção com autovalor \lambda. Observação útil: funções constantes correspondem ao caso \lambda=0 (pois derivada de constante é zero).

Passo 4

Aplicando ao x_{1}(t)=e^{a t}.
Calcular a derivada (regra básica: derivada de exponencial \frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)e^{u(t)}; aqui u(t)=a t e u'(t)=a):
\mathcal{D}x_{1}(t)=\frac{d}{dt}e^{a t}=a\,e^{a t}.
Compare com a forma \lambda x_{1}(t):
\mathcal{D}x_{1}(t)=a\,e^{a t}=a\,x_{1}(t).
Como o fator a é um número que não depende de t, x_{1} satisfaz a condição de autofunção. Conclusão: x_{1} é autofunção de \mathcal{D} com autovalor \lambda=a.

Passo 5

Aplicando ao x_{2}(t)=e^{a t^{2}}.
Calcular a derivada usando a regra da cadeia: u(t)=a t^{2} então u'(t)=2a t. Assim
\mathcal{D}x_{2}(t)=\frac{d}{dt}e^{a t^{2}}=2a t\,e^{a t^{2}}.
Escrevendo em termos de x_{2}:
\mathcal{D}x_{2}(t)=2a t\,x_{2}(t).
Aqui o fator que multiplica x_{2}(t) é 2a t, que depende de t. Para que x_{2} seja autofunção precisamos de um escalar \lambda que NÃO dependa de t satisfazendo \mathcal{D}x_{2}=\lambda x_{2}. Isso só ocorre se 2a t for constante em t. Como t varia, a única maneira de 2a t ser independente de t é ter a=0 (nesse caso 2a t=0 para todo t). Portanto:
  • Se a\neq 0: x_{2} não é autofunção de \mathcal{D}.
  • Se a=0: x_{2}(t)=e^{0}=1 (constante), e \mathcal{D}x_{2}=0. Nesse caso x_{2} é autofunção com autovalor \lambda=0.

Passo 6

Aplicando ao x_{3}(t)=42 (constante).
Derivada de constante é zero:
\mathcal{D}x_{3}(t)=\frac{d}{dt}42=0.
Escrevendo em termos de x_{3}:
\mathcal{D}x_{3}(t)=0\cdot x_{3}(t).
O fator 0 é um escalar (independente de t), então x_{3} é autofunção com autovalor \lambda=0. Observação intuitiva: qualquer função constante não nula é autofunção de \mathcal{D} com autovalor 0.

Passo 7

Recapitulando de forma direta e limpa (pronto para a prova):
  • x_{1}(t)=e^{a t} é autofunção de \mathcal{D} para todo a\in\mathbb{R}, com autovalor \lambda=a.
  • x_{2}(t)=e^{a t^{2}} não é autofunção se a\neq 0. Se a=0 então x_{2} torna-se a constante 1 e é autofunção com \lambda=0.
  • x_{3}(t)=42 é autofunção com autovalor \lambda=0.

Resposta

x_{1}(t)=e^{a t}: é autofunção, \lambda=a\newline
x_{2}(t)=e^{a t^{2}}: não é autofunção para a\neq 0; para a=0 é autofunção com \lambda=0\newline
x_{3}(t)=42: é autofunção, \lambda=0

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