3.33 For each system \mathscr{K} and the functions \left\{x_{k}\right\} given below, determine if each of the x_{k} is an eigenfunction of \mathscr{K}, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
\mathcal{H} x(t)=\int_{t-1}^{t} x(\tau) d \tau, x_{1}(t)=e^{a t}, x_{2}(t)=t, and x_{3}(t)=\sin t, where a is a nonzero complex constant; and

Passo 1

O enunciado dá o operador linear \mathcal{H} e três funções. Quero determinar, para cada função, se é um autovetor (autofunção) de \mathcal{H} e, em caso afirmativo, achar o autovalor correspondente.
Dados:
  • Operador \mathcal{H} definido por
\mathcal{H}x(t)=\int_{t-1}^{t} x(\tau)\,d\tau.
  • Funções:
    • x_{1}(t)=e^{a t}, com a constante complexa não nula;
    • x_{2}(t)=t;
    • x_{3}(t)=\sin t.
O que o problema pede:
  • Para cada x_{k} decidir se existe \lambda (escalares, independentes de t) tal que
\mathcal{H}x_{k}(t)=\lambda\,x_{k}(t)\quad\text{para todo }t.
  • Se existir, fornecer esse \lambda.

Passo 2

Breve lembrança do conceito que vou usar (aula rápida e amigável). Uma função x(t) é autofunção de um operador linear \mathcal{H} se ao aplicar \mathcal{H} a x obtém-se apenas um fator escalar multiplicando x:
\mathcal{H}x(t)=\lambda x(t),
onde \lambda é o autovalor. Para testar isso, calculo \mathcal{H}x(t) explicitamente (a integral dada) e vejo se o resultado é um múltiplo escalar da própria x(t) (i.e., se a razão \mathcal{H}x(t)/x(t) é constante em t).

Passo 3

Verificação para x_{1}(t)=e^{a t}.
Calculo a integral:
\mathcal{H}x_{1}(t)=\int_{t-1}^{t} e^{a\tau}\,d\tau.
A primitiva de e^{a\tau} é \dfrac{e^{a\tau}}{a} (porque a\neq0). Então
\mathcal{H}x_{1}(t)=\left.\frac{e^{a\tau}}{a}\right|_{\tau=t-1}^{\tau=t}=\frac{e^{a t}-e^{a(t-1)}}{a}.
Factorizando e^{a t}:
\mathcal{H}x_{1}(t)=e^{a t}\cdot\frac{1-e^{-a}}{a}.
Isto tem a forma \lambda x_{1}(t) com
\lambda=\frac{1-e^{-a}}{a},
que é uma constante (não depende de t). Portanto x_{1} é uma autofunção de \mathcal{H} e o autovalor é \lambda=(1-e^{-a})/a.
Comentário didático rápido: para exponenciais \,e^{a t}\, operadores de convolução ou médias em intervalos frequentemente retornam um múltiplo escalar de e^{a t}, porque e^{a\tau} é proporcional a e^{a t} por um fator exponencial em \tau-t. Esse é um padrão útil para reconhecer em provas.

Passo 4

Verificação para x_{2}(t)=t.
Calculo a integral:
\mathcal{H}x_{2}(t)=\int_{t-1}^{t} \tau\,d\tau.
A primitiva de \tau é \dfrac{\tau^{2}}{2}. Logo
\mathcal{H}x_{2}(t)=\left.\frac{\tau^{2}}{2}\right|_{\tau=t-1}^{\tau=t}=\frac{t^{2}-(t-1)^{2}}{2}.
Desenvolvendo (t-1)^{2}=t^{2}-2t+1,
\mathcal{H}x_{2}(t)=\frac{t^{2}-\bigl(t^{2}-2t+1\bigr)}{2}=\frac{2t-1}{2}=t-\frac{1}{2}.
Portanto
\mathcal{H}x_{2}(t)=t-\frac{1}{2}=x_{2}(t)-\frac{1}{2}.
Para ser autofunção precisaríamos de \mathcal{H}x_{2}(t)=\lambda t para algum \lambda. Comparando coeficientes, isso exigiria \lambda=1 e -\tfrac{1}{2}=0 ao mesmo tempo, o que é impossível. Assim x_{2} não é autofunção de \mathcal{H}.
Dica prática para prova: quando aparece uma integral sobre um intervalo que depende de t e a função é polinomial, normalmente surge um polinômio de mesmo grau mas com termos constantes deslocados — daí raramente será múltiplo exato da função original, salvo casos especiais.

Passo 5

Verificação para x_{3}(t)=\sin t.
Calculo direto:
\mathcal{H}x_{3}(t)=\int_{t-1}^{t} \sin\tau\,d\tau.
A primitiva de \sin\tau é -\cos\tau. Então
\mathcal{H}x_{3}(t)=\left.-\cos\tau\right|_{\tau=t-1}^{\tau=t}=-\cos t-(-\cos(t-1))=\cos(t-1)-\cos t.
Quero ver se existe \lambda tal que \cos(t-1)-\cos t=\lambda\sin t para todo t. Use a identidade de soma/ diferença de cossenos:
\cos(t-1)-\cos t=-2\sin\!\left(\frac{(t-1)+t}{2}\right)\sin\!\left(\frac{(t-1)-t}{2}\right).
Calcule os meios:
\frac{(t-1)+t}{2}=t-\frac{1}{2},\qquad \frac{(t-1)-t}{2}=-\frac{1}{2}.
Logo
\cos(t-1)-\cos t=-2\sin\!\left(t-\frac{1}{2}\right)\sin\!\left(-\frac{1}{2}\right)=2\sin\!\left(\frac{1}{2}\right)\sin\!\left(t-\frac{1}{2}\right).
Agora expanda \sin\!\left(t-\tfrac{1}{2}\right) por identidade:
\sin\!\left(t-\frac{1}{2}\right)=\sin t\cos\frac{1}{2}-\cos t\sin\frac{1}{2}.
Multiplicando por 2\sin\frac{1}{2}:
\cos(t-1)-\cos t=2\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}\,\sin t-2\sin^{2}\frac{1}{2}\,\cos t.
Usando 2\sin\frac{1}{2}\cos\frac{1}{2}=\sin 1, isso é
\cos(t-1)-\cos t=\sin 1\;\sin t-2\sin^{2}\frac{1}{2}\;\cos t.
Observação: o resultado contém tanto \sin t quanto \cos t. Para ser múltiplo escalar de \sin t seria necessário que o coeficiente de \cos t fosse zero, i.e. 2\sin^{2}\tfrac{1}{2}=0, o que ocorreria apenas se \sin\tfrac{1}{2}=0, ou seja \tfrac{1}{2}=k\pi (impossível para todo t). Portanto não existe \lambda independente de t tal que \mathcal{H}x_{3}(t)=\lambda\sin t. Conclusão: x_{3} não é autofunção.
Observação didática: quando a aplicação produz uma combinação linear de funções que não é proporcional à função original (aqui aparece \cos t junto com \sin t), isso impede ser autofunção.

Resposta

x_{1}(t)=e^{a t} é autofunção com autovalor \displaystyle \lambda=\frac{1-e^{-a}}{a}.
x_{2}(t)=t não é autofunção de \mathcal{H}.
x_{3}(t)=\sin t não é autofunção de \mathcal{H}.

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