Calcule as seguintes integrais
(1.2 \mathrm{pt}) \int_{0}^{2}|x-1| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} |x - 1| \, dx.
O conteúdo envolvido é o de integrais de funções definidas por partes, usando que o valor absoluto força uma mudança de expressão onde o argumento muda de sinal.

Passo 2

Precisamos reescrever |x - 1| em duas partes, conforme o sinal de x-1:
Se x<1, então x-1<0 e
|x-1| = -(x-1) = 1 - x.
Se x\ge1, então x-1\ge0 e
|x-1| = x - 1.

Passo 3

Com essa definição por partes, dividimos a integral em
\int_{0}^{2} |x-1| \, dx = \int_{0}^{1} (1 - x)\,dx \;+\;\int_{1}^{2} (x - 1)\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira parte:
\int_{0}^{1} (1 - x)\,dx = \Bigl[x - \tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl(1 - \tfrac{1}{2}\Bigr) - (0 - 0) = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular a segunda parte:
\int_{1}^{2} (x - 1)\,dx = \left[\tfrac{(x-1)^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \tfrac{(2-1)^{2}}{2} - \tfrac{(1-1)^{2}}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Somando os resultados das duas partes, obtemos
\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados