. 33 Um gerador de corrente alternada tem uma força eletromotriz
, em que
e
. A corrente produzida no circuito ao qual o gerador está ligado é
, em que
. Em que instante após
(a) a força eletromotriz do gerador atinge pela primeira vez o valor máximo e (b) a corrente atinge pela primeira vez o valor máximo? (c) O circuito contém um único componente além do gerador. Trata-se de um capacitor, de um indutor ou de um resistor? Justifique sua resposta. (d) Qual é o valor da capacitância, da indutância ou da resistência desse componente?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
- A força eletromotriz do gerador é
. - O valor da amplitude é
. - A pulsação é
. - A corrente é
. - A amplitude da corrente é
.
Perguntas:
(a) Em que instante após a força eletromotriz atinge pela primeira vez o valor máximo?
(b) Em que instante após a corrente atinge pela primeira vez o valor máximo?
(c) O componente único do circuito além do gerador é um capacitor, um indutor ou um resistor? Justifique.
(d) Qual é o valor da capacitância, da indutância ou da resistência desse componente?
(a) Em que instante após
(b) Em que instante após
(c) O componente único do circuito além do gerador é um capacitor, um indutor ou um resistor? Justifique.
(d) Qual é o valor da capacitância, da indutância ou da resistência desse componente?
Passo 2
Entendendo quando uma senóide atinge máximo: a função
atinge seu valor máximo
quando o argumento
vale
Então, para um sinal da forma
, os instantes de máximo satisfazem
Para achar o primeiro máximo após
escolhemos o menor
que torne
(normalmente
se isso já der
).
Passo 3
Aplicando isso para a força eletromotriz
.
Condição do máximo:
Para o primeiro máximo após
usamos
. Então
Isolando
:
Substituindo
:
Agora calculo numérico passo a passo:
Arredondando de forma prática:
Passo 4
Agora a corrente
.
Condição do máximo:
Usando
para o primeiro máximo positivo:
Isolando
:
Substituindo
:
Arredondando:
Passo 5
Identificando o tipo de componente a partir das fases: os argumentos das senóides dão as fases iniciais.
- Fase da tensão (f.e.m.):
. - Fase da corrente:
.
A diferença de fase (tensão menos corrente) é
Isso significa que a tensão está adiantada em
(90°) em relação à corrente: tensão LEVA a corrente por 90°.
Regra prática (importante, decore):
- Em um resistor ideal: tensão e corrente estão em fase (
de diferença). - Em um indutor ideal: a tensão LEVA a corrente por
(ou seja ). - Em um capacitor ideal: a tensão ATRASA a corrente por
(ou seja ).
Como aqui
, o componente único que produz esse desfasamento é um indutor.
Passo 6
Agora calcular o valor da indutância usando as amplitudes.
No regime senoidal estacionário, a impedância do indutor é
e o módulo da impedância é
. A relação entre amplitudes é:
Isolando
:
Substituir os valores com atenção às unidades:
Cálculo:
Arredondando de forma prática:
Passo 7
Resumo final e pequenina motivação: encontramos os instantes dos primeiros máximos aplicando a condição
, identificamos que a tensão lidera a corrente em
(portanto o componente é um indutor) e calculamos a indutância a partir de
. Boa — você já consegue reproduzir isso na prova sem mistério!
Resposta
(a)
(b)
(c) Indutor
(d)
(b)
(c) Indutor
(d)