. 33 Um gerador de corrente alternada tem uma força eletromotriz =\operatorname{sen}(\omega d t-\pi / 4), em que =30,0 \mathrm{~V} e \omega \mathrm{d}=350 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. A corrente produzida no circuito ao qual o gerador está ligado é i(t)=I \operatorname{sen}(\omega d t-3 \pi / 4), em que I=620 \mathrm{~mA}. Em que instante após t=0 (a) a força eletromotriz do gerador atinge pela primeira vez o valor máximo e (b) a corrente atinge pela primeira vez o valor máximo? (c) O circuito contém um único componente além do gerador. Trata-se de um capacitor, de um indutor ou de um resistor? Justifique sua resposta. (d) Qual é o valor da capacitância, da indutância ou da resistência desse componente?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • A força eletromotriz do gerador é e(t)=E_m\sin\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
  • O valor da amplitude é E_m=30{,}0\\ \text{V}.
  • A pulsação é \omega=350\\ \text{rad}\!/\text{s}.
  • A corrente é i(t)=I\sin\bigl(\omega t-\tfrac{3\pi}{4}\bigr).
  • A amplitude da corrente é I=620\\ \text{mA}.
Perguntas:
(a) Em que instante após t=0 a força eletromotriz atinge pela primeira vez o valor máximo?
(b) Em que instante após t=0 a corrente atinge pela primeira vez o valor máximo?
(c) O componente único do circuito além do gerador é um capacitor, um indutor ou um resistor? Justifique.
(d) Qual é o valor da capacitância, da indutância ou da resistência desse componente?

Passo 2

Entendendo quando uma senóide atinge máximo: a função \sin\theta atinge seu valor máximo +1 quando o argumento \theta vale
\theta=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Então, para um sinal da forma \sin(\omega t+\varphi), os instantes de máximo satisfazem
\omega t+\varphi=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k.
Para achar o primeiro máximo após t=0 escolhemos o menor k que torne t>0 (normalmente k=0 se isso já der t>0).

Passo 3

Aplicando isso para a força eletromotriz e(t)=E_m\sin\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Condição do máximo:
\omega t-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k.
Para o primeiro máximo após t=0 usamos k=0. Então
\omega t-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \omega t=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}.
Isolando t:
t=\frac{\tfrac{3\pi}{4}}{\omega}=\frac{3\pi}{4\omega}.
Substituindo \omega=350\\ \text{rad}\!/\text{s}:
t=\frac{3\pi}{4\cdot350}.
Agora calculo numérico passo a passo:
\tfrac{3\pi}{4}\approx\frac{3\cdot 3{,}14159265}{4}\approx 2{,}35619449\\ \text{rad}.
t\approx\frac{2{,}35619449}{350}\approx 0{,}0067319843\\ \text{s}.
Arredondando de forma prática:
t\approx 0{,}006732\\ \text{s}=6{,}732\\ \text{ms}.

Passo 4

Agora a corrente i(t)=I\sin\bigl(\omega t-\tfrac{3\pi}{4}\bigr).
Condição do máximo:
\omega t-\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k.
Usando k=0 para o primeiro máximo positivo:
\omega t=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\pi}{4}=\tfrac{5\pi}{4}.
Isolando t:
t=\frac{\tfrac{5\pi}{4}}{\omega}=\frac{5\pi}{4\omega}.
Substituindo \omega=350\\ \text{rad}\!/\text{s}:
\tfrac{5\pi}{4}\approx\frac{5\cdot 3{,}14159265}{4}\approx 3{,}92699072\\ \text{rad},
t\approx\frac{3{,}92699072}{350}\approx 0{,}0112199735\\ \text{s}.
Arredondando:
t\approx 0{,}011220\\ \text{s}=11{,}220\\ \text{ms}.

Passo 5

Identificando o tipo de componente a partir das fases: os argumentos das senóides dão as fases iniciais.
  • Fase da tensão (f.e.m.): \varphi_e=-\tfrac{\pi}{4}.
  • Fase da corrente: \varphi_i=-\tfrac{3\pi}{4}.
A diferença de fase (tensão menos corrente) é
\Delta\varphi=\varphi_e-\varphi_i=-\tfrac{\pi}{4}-\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}.
Isso significa que a tensão está adiantada em \tfrac{\pi}{2} (90°) em relação à corrente: tensão LEVA a corrente por 90°.
Regra prática (importante, decore):
  • Em um resistor ideal: tensão e corrente estão em fase ( 0^\circ de diferença).
  • Em um indutor ideal: a tensão LEVA a corrente por +90^\circ (ou seja \varphi_v-\varphi_i=+\tfrac{\pi}{2}).
  • Em um capacitor ideal: a tensão ATRASA a corrente por 90^\circ (ou seja \varphi_v-\varphi_i=-\tfrac{\pi}{2}).
Como aqui \Delta\varphi=+\tfrac{\pi}{2}, o componente único que produz esse desfasamento é um indutor.

Passo 6

Agora calcular o valor da indutância usando as amplitudes.
No regime senoidal estacionário, a impedância do indutor é
Z_L=j\omega L,
e o módulo da impedância é |Z_L|=\omega L. A relação entre amplitudes é:
E_m=I_m\cdot |Z_L|=I_m\omega L.
Isolando L:
L=\frac{E_m}{I_m\omega}.
Substituir os valores com atenção às unidades:
E_m=30{,}0\\ \text{V},\qquad I_m=620\\ \text{mA}=0{,}620\\ \text{A},\qquad \omega=350\\ \text{rad}\!/\text{s}.
Cálculo:
I_m\omega=0{,}620\times 350=217{,}0.
L=\frac{30{,}0}{217{,}0}\approx 0{,}1382488479\\ \text{H}.
Arredondando de forma prática:
L\approx 0{,}138\\ \text{H}=138\\ \text{mH}.

Passo 7

Resumo final e pequenina motivação: encontramos os instantes dos primeiros máximos aplicando a condição \omega t+\varphi=\tfrac{\pi}{2}, identificamos que a tensão lidera a corrente em 90^\circ (portanto o componente é um indutor) e calculamos a indutância a partir de E_m=I_m\omega L. Boa — você já consegue reproduzir isso na prova sem mistério!

Resposta

(a) t\approx 0{,}006732\\ \text{s}\approx 6{,}732\\ \text{ms}
(b) t\approx 0{,}011220\\ \text{s}\approx 11{,}220\\ \text{ms}
(c) Indutor
(d) L\approx 0{,}138\\ \text{H}=138\\ \text{mH}

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