Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de 7,20 \Omega, um indutor de 12,0 \mathrm{H} e um capacitor de 3,20 \mu \mathrm{~F}. Inicialmente, o capacitor possui uma carga de 6,20 \mu \mathrm{C} e a corrente é zero. Calcule a carga do capacitor após N ciclos completos para \mathrm{N}=100
Passo 1
O enunciado pede a carga do capacitor após N ciclos completos com N=100. Dados fornecidos:
Carga inicial do capacitor: Q_0=6{,}20\\ \mu\mathrm{C}=6{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Corrente inicial: i(0)=0.
Número de ciclos completos a considerar: N=100.
O objetivo: calcular a carga do capacitor após N ciclos completos, isto é q(t) avaliado no instante t=N\cdot T_d, onde T_d é o período do regime oscilatório amortecido.
Passo 2
Modelo físico e equação de movimento (explicação didática):
Num circuito série RLC a variável natural a usar é a carga do capacitor q(t). A corrente é i(t)=\dfrac{dq}{dt}.
Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões (soma das quedas de tensão = 0) obtemos a equação diferencial:
q(t) é a carga no capacitor (em coulomb).
Essa equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; a solução depende do amortecimento.
Passo 3
Parâmetros característicos (definição e significado):
Definir a frequência natural não amortecida:
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
Definir a razão de amortecimento (meio do coeficiente de amortecimento):
\alpha = \frac{R}{2L}.
Para o caso subamortecido (quando \alpha<\omega_0) a solução é oscilatória amortecida com frequência angular amortecida
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}.
A solução geral no caso subamortecido pode ser escrita como
Observação conveniente para avaliar a carga após ciclos inteiros:
O período do regime oscilatório amortecido é
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}.
Para t=nT_d com n inteiro, vale \cos(\omega_d nT_d)=\cos(2\pi n)=1 e \sin(\omega_d nT_d)=0.
Substituindo na expressão de q(t) obtemos, para ciclos inteiros:
q(nT_d)=Q_0\,e^{-\alpha n T_d}.
Isto é muito útil: a cada ciclo completo a carga retorna à mesma fase (mesmo sinal relativo) mas multiplicada pelo fator de decaimento exponencial e^{-\alpha T_d}.
Comparando \alpha=0{,}300\\ \mathrm{s^{-1}} com \omega_0\approx161{,}34\\ \mathrm{s^{-1}} temos \alpha\ll\omega_0, logo o circuito é subamortecido (oscilações amortecidas).