Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de 7,20 \Omega, um indutor de 12,0 \mathrm{H} e um capacitor de 3,20 \mu \mathrm{~F}. Inicialmente, o capacitor possui uma carga de 6,20 \mu \mathrm{C} e a corrente é zero. Calcule a carga do capacitor após N ciclos completos para \mathrm{N}=100

Passo 1

O enunciado pede a carga do capacitor após N ciclos completos com N=100. Dados fornecidos:
  • Resistência: R=7{,}20\\ \Omega.
  • Indutância: L=12{,}0\\ \mathrm{H}.
  • Capacitância: C=3{,}20\\ \mu\mathrm{F}=3{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Carga inicial do capacitor: Q_0=6{,}20\\ \mu\mathrm{C}=6{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Corrente inicial: i(0)=0.
  • Número de ciclos completos a considerar: N=100.
O objetivo: calcular a carga do capacitor após N ciclos completos, isto é q(t) avaliado no instante t=N\cdot T_d, onde T_d é o período do regime oscilatório amortecido.

Passo 2

Modelo físico e equação de movimento (explicação didática):
  • Num circuito série RLC a variável natural a usar é a carga do capacitor q(t). A corrente é i(t)=\dfrac{dq}{dt}.
  • Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões (soma das quedas de tensão = 0) obtemos a equação diferencial:
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0.
  • Aqui:
    • L é a indutância (em henry),
    • R é a resistência (em ohm),
    • C é a capacitância (em farad),
    • q(t) é a carga no capacitor (em coulomb).
      Essa equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; a solução depende do amortecimento.

Passo 3

Parâmetros característicos (definição e significado):
  • Definir a frequência natural não amortecida:
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
  • Definir a razão de amortecimento (meio do coeficiente de amortecimento):
\alpha = \frac{R}{2L}.
  • Para o caso subamortecido (quando \alpha<\omega_0) a solução é oscilatória amortecida com frequência angular amortecida
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}.
  • A solução geral no caso subamortecido pode ser escrita como
q(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para encontrar A e B:
  • Em t=0: q(0)=Q_0, logo
A=Q_0.
  • A derivada é i(t)=\dfrac{dq}{dt}. Calculando em t=0 e usando i(0)=0 resulta em
\left.\frac{dq}{dt}\right|_{t=0} = -\alpha A + \omega_d B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{\alpha A}{\omega_d} = \frac{\alpha Q_0}{\omega_d}.
  • Portanto a solução com as condições iniciais é
q(t)=Q_0\,e^{-\alpha t}\left(\cos(\omega_d t) + \frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right).

Passo 5

Observação conveniente para avaliar a carga após ciclos inteiros:
  • O período do regime oscilatório amortecido é
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}.
  • Para t=nT_d com n inteiro, vale \cos(\omega_d nT_d)=\cos(2\pi n)=1 e \sin(\omega_d nT_d)=0.
  • Substituindo na expressão de q(t) obtemos, para ciclos inteiros:
q(nT_d)=Q_0\,e^{-\alpha n T_d}.
Isto é muito útil: a cada ciclo completo a carga retorna à mesma fase (mesmo sinal relativo) mas multiplicada pelo fator de decaimento exponencial e^{-\alpha T_d}.

Passo 6

Calcular numericamente \alpha:
\alpha=\frac{R}{2L}=\frac{7{,}20}{2\cdot12{,}0}=\frac{7{,}20}{24{,}0}=0{,}300\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 7

Calcular numericamente \omega_0 e verificar regime:
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{12{,}0\cdot 3{,}20\times10^{-6}}}.
Calculemos passo a passo:
L\!C = 12{,}0\times 3{,}20\times10^{-6}=38{,}4\times10^{-6}=3{,}84\times10^{-5}.
\sqrt{LC}=\sqrt{3{,}84\times10^{-5}}\approx 6{,}196\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
\omega_0=\frac{1}{6{,}196\times10^{-3}}\approx 161{,}34\\ \mathrm{s^{-1}}.
Comparando \alpha=0{,}300\\ \mathrm{s^{-1}} com \omega_0\approx161{,}34\\ \mathrm{s^{-1}} temos \alpha\ll\omega_0, logo o circuito é subamortecido (oscilações amortecidas).

Passo 8

Calcular \omega_d e o período amortecido T_d:
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}=\sqrt{(161{,}34)^{2}-(0{,}300)^{2}}.
Como \alpha^{2}=0{,}09 é muito pequeno diante de \omega_0^{2}, obtemos numericamente
\omega_d\approx161{,}34\\ \mathrm{s^{-1}}
(com diferença desprezível nos dígitos mostrados).
Agora o período:
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx\frac{2\pi}{161{,}34}\approx 0{,}03894\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Fator de decaimento por N ciclos:
  • O expoente total após N ciclos é \alpha N T_d.
    Calculemos para N=100:
\alpha N T_d = 0{,}300 \times 100 \times 0{,}03894 \approx 1{,}1682.
O fator multiplicativo é e^{-\alpha N T_d}=e^{-1{,}1682}\approx 0{,}3116.

Passo 10

Calcular a carga após N=100 ciclos:
q(100T_d)=Q_0\,e^{-\alpha\cdot 100 T_d}.
Substituindo Q_0=6{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e o fator encontrado:
q(100T_d)=6{,}20\times10^{-6}\times 0{,}3116\approx 1{,}93\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Converter para \mu\mathrm{C}: 1{,}93\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1{,}93\\ \mu\mathrm{C}.

Resposta

\,1{,}93\\ \mu\mathrm{C}

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