• 60 Em um circuito RLC série oscilante, \mathrm{R}=16,0 \Omega, \mathrm{C}=31,2 \mu \mathrm{~F}, \mathrm{~L}=9,20 \mathrm{mH} e =\operatorname{sen} \omega \mathrm{d} t com =45,0 \mathrm{~V} e \omega \mathrm{d}=3000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. No instante \mathrm{t}=0,442 \mathrm{~ms}, determine (a) a taxa Pg com a qual a energia está sendo fornecida pelo gerador; (b) a taxa PC com a qual a energia do capacitor está variando, (c) a taxa PL com a qual a energia do indutor está variando e (d) a taxa PR com a qual a energia está sendo dissipada no resistor. (e) A soma de PC, PL e PR é maior, menor ou igual a Pg?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pego do enunciado):
  • Resistência: R=16{,}0\\ \Omega.
  • Capacitância: C=31{,}2\\ \mu\text{F}=31{,}2\times10^{-6}\\ \text{F}.
  • Indutância: L=9{,}20\\ \text{mH}=9{,}20\times10^{-3}\\ \text{H}.
  • Tensão do gerador: v_g(t)=V_m\sin(\omega t) com V_m=45{,}0\\ \text{V} e \omega=3000\\ \text{rad/s}.
  • Instante pedido: t=0{,}442\\ \text{ms}=0{,}442\times10^{-3}\\ \text{s}.
O enunciado pede:
(a) a taxa P_g com a qual a energia está sendo fornecida pelo gerador no instante dado;
(b) a taxa P_C com a qual a energia do capacitor está variando no mesmo instante;
(c) a taxa P_L com a qual a energia do indutor está variando;
(d) a taxa P_R com a qual a energia está sendo dissipada no resistor;
(e) comparar a soma P_C+P_L+P_R com P_g (maior, menor ou igual).

Passo 2

Plano de ação e fórmulas principais (aula curta):
  • Em regime senoidal, a corrente em série tem a forma \,i(t)=I_m\sin(\omega t-\varphi)\,, onde I_m é a amplitude da corrente e \varphi é a defasagem entre a tensão do gerador e a corrente.
  • A impedância do circuito série é Z=R+j(X_L-X_C), com X_L=\omega L e X_C=\dfrac{1}{\omega C}.
  • O módulo da impedância é \,|Z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\, e então \,I_m=\dfrac{V_m}{|Z|}\,.
  • A defasagem é \,\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{X_L-X_C}{R}\right)\, (ângulo positivo quando a corrente atrasa a tensão).
  • Para potências instantâneas:
    • Potência do gerador: P_g(t)=v_g(t)\,i(t).
    • Potência dissipada no resistor: P_R(t)=i^2(t)R.
    • Taxa de variação da energia no capacitor: P_C(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{2}C v_C^2(t)\right)=C\,v_C(t)\,\dfrac{dv_C}{dt}.
    • Taxa de variação da energia no indutor: P_L(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{2}L i^2(t)\right)=L\,i(t)\,\dfrac{di}{dt}.
Agora calculamos passo a passo os valores numéricos de X_L, X_C, |Z|, I_m e \varphi.
Cálculos:
X_L=\omega L=3000\cdot 9{,}20\times10^{-3}=27{,}6\\ \Omega.
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{3000\cdot 31{,}2\times10^{-6}}=\frac{1}{0{,}0936}=10{,}683760\ldots\\ \Omega.
X=X_L-X_C=27{,}6-10{,}683760\ldots=16{,}91624\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).
|Z|=\sqrt{R^2+X^2}=\sqrt{16{,}0^2+16{,}91624^2}\approx 23{,}292\\ \Omega.
I_m=\frac{V_m}{|Z|}=\frac{45{,}0}{23{,}292}\approx 1{,}9310\\ \text{A}.
\varphi=\arctan\!\left(\frac{X}{R}\right)=\arctan\!\left(\frac{16{,}91624}{16{,}0}\right)\approx 0{,}8149\\ \text{rad}.

Passo 3

Calcular i(t) e v_g(t) no instante t; depois P_g.
Primeiro \omega t:
\omega t=3000\cdot 0{,}442\times10^{-3}=1{,}326\\ \text{rad}.
Defina \psi=\omega t-\varphi:
\psi=1{,}326-0{,}8149=0{,}5111\\ \text{rad}.
Corrente instantânea:
i(t)=I_m\sin(\psi)=1{,}9310\sin(0{,}5111)\approx 1{,}9310\cdot 0{,}4894\approx 0{,}9455\\ \text{A}.
Tensão do gerador no instante:
v_g(t)=V_m\sin(\omega t)=45{,}0\sin(1{,}326)\approx 45{,}0\cdot 0{,}9696\approx 43{,}632\\ \text{V}.
Potência instantânea fornecida pelo gerador:
P_g(t)=v_g(t)\,i(t)\approx 43{,}632\cdot 0{,}9455\approx 41{,}26\\ \text{W}.

Passo 4

Calcular P_R(t)=i^2(t)R (energia dissipada no resistor). Fórmula já dada; interpretação: é potência imediatamente convertida em calor.
P_R(t)=i^2(t)R=(0{,}9455)^2\cdot 16{,}0\approx 0{,}8939\cdot 16{,}0\approx 14{,}30\\ \text{W}.

Passo 5

Calcular P_C(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{2}C v_C^2\right)=C v_C \dfrac{dv_C}{dt}.
Precisamos de v_C(t). Em série, a amplitude da tensão no capacitor é V_{C,m}=I_m X_C e a tensão do capacitor está defasada em -\pi/2 em relação à corrente; portanto uma forma conveniente é
v_C(t)=-V_{C,m}\cos(\psi),
onde \psi=\omega t-\varphi (isso vem de v_C=V_{C,m}\sin(\psi-\pi/2)=-V_{C,m}\cos\psi).
Calcule V_{C,m}:
V_{C,m}=I_m X_C=1{,}9310\cdot 10{,}68376\approx 20{,}636\\ \text{V}.
Então
v_C(t)=-20{,}636\cos(0{,}5111)\approx -20{,}636\cdot 0{,}8720\approx -17{,}997\\ \text{V}.
Derivada:
\frac{dv_C}{dt}=V_{C,m}\,\omega\,\sin(\psi)=20{,}636\cdot 3000\cdot 0{,}4894\approx 30\,304{,}2\\ \text{V/s}.
Agora compute P_C:
P_C(t)=C\,v_C\,\frac{dv_C}{dt}=31{,}2\times10^{-6}\cdot(-17{,}997)\cdot 30\,304{,}2\approx -17{,}03\\ \text{W}.
Interpretação rápida: P_C<0 significa que a energia armazenada no capacitor está diminuindo naquele instante (o capacitor está cedendo energia ao circuito).

Passo 6

Calcular P_L(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{2}L i^2\right)=L\,i(t)\,\dfrac{di}{dt}.
Sabendo i(t)=I_m\sin\psi, temos \dfrac{di}{dt}=I_m\omega\cos\psi. Logo
P_L(t)=L I_m^2 \omega \sin\psi\cos\psi = \frac{1}{2}L I_m^2 \omega \sin(2\psi).
Numéricos:
I_m^2\approx (1{,}9310)^2\approx 3{,}729.
L I_m^2 \omega =9{,}20\times10^{-3}\cdot 3{,}729\cdot 3000\approx 102{,}93.
\sin\psi\cos\psi=0{,}4894\cdot 0{,}8720\approx 0{,}4267.
P_L(t)\approx 102{,}93\cdot 0{,}4267\approx 43{,}99\\ \text{W}.
Interpretação: P_L>0 significa que a energia armazenada no indutor está aumentando naquele instante (o indutor está absorvendo energia).

Passo 7

Verificação da conservação de energia (consistência numérica):
P_C+P_L+P_R\approx (-17{,}03)+43{,}99+14{,}30\approx 41{,}26\\ \text{W},
que coincide com P_g\approx 41{,}26\\ \text{W} dentro do arredondamento. Portanto, instantaneamente, a potência fornecida pelo gerador é igual à soma das taxas de variação das energias nos elementos (capacitor e indutor) mais a potência dissipada no resistor.
Um comentário motivador: deu trabalho, mas é sempre assim — primeiro encontra-se a corrente (módulo e fase), daí todas as potências se seguem de forma direta. Você está indo bem!

Resposta

(a) P_g=41{,}26\\ \text{W}
(b) P_C=-17{,}03\\ \text{W}
(c) P_L=43{,}99\\ \text{W}
(d) P_R=14{,}30\\ \text{W}
(e) P_C+P_L+P_R=P_g (são iguais: soma =41{,}26\\ \text{W})

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