- 60 Em um circuito RLC série oscilante,
e
t com
e
. No instante
, determine (a) a taxa Pg com a qual a energia está sendo fornecida pelo gerador; (b) a taxa PC com a qual a energia do capacitor está variando, (c) a taxa PL com a qual a energia do indutor está variando e (d) a taxa PR com a qual a energia está sendo dissipada no resistor. (e) A soma de PC, PL e PR é maior, menor ou igual a Pg?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pego do enunciado):
- Resistência:
. - Capacitância:
. - Indutância:
. - Tensão do gerador:
com e . - Instante pedido:
.
O enunciado pede:
(a) a taxa com a qual a energia está sendo fornecida pelo gerador no instante dado;
(b) a taxa com a qual a energia do capacitor está variando no mesmo instante;
(c) a taxa com a qual a energia do indutor está variando;
(d) a taxa com a qual a energia está sendo dissipada no resistor;
(e) comparar a soma com
(maior, menor ou igual).
(a) a taxa
(b) a taxa
(c) a taxa
(d) a taxa
(e) comparar a soma
Passo 2
Plano de ação e fórmulas principais (aula curta):
- Em regime senoidal, a corrente em série tem a forma
, onde é a amplitude da corrente e é a defasagem entre a tensão do gerador e a corrente. - A impedância do circuito série é
, com e . - O módulo da impedância é
e então . - A defasagem é
(ângulo positivo quando a corrente atrasa a tensão). - Para potências instantâneas:
- Potência do gerador:
. - Potência dissipada no resistor:
. - Taxa de variação da energia no capacitor:
. - Taxa de variação da energia no indutor:
.
- Potência do gerador:
Agora calculamos passo a passo os valores numéricos de
,
,
,
e
.
Cálculos:
Passo 3
Calcular
e
no instante
; depois
.
Primeiro
:
Defina
:
Corrente instantânea:
Tensão do gerador no instante:
Potência instantânea fornecida pelo gerador:
Passo 4
Calcular
(energia dissipada no resistor). Fórmula já dada; interpretação: é potência imediatamente convertida em calor.
Passo 5
Calcular
.
Precisamos de
. Em série, a amplitude da tensão no capacitor é
e a tensão do capacitor está defasada em
em relação à corrente; portanto uma forma conveniente é
onde
(isso vem de
).
Calcule
:
Então
Derivada:
Agora compute
:
Interpretação rápida:
significa que a energia armazenada no capacitor está diminuindo naquele instante (o capacitor está cedendo energia ao circuito).
Passo 6
Calcular
.
Sabendo
, temos
. Logo
Numéricos:
Interpretação:
significa que a energia armazenada no indutor está aumentando naquele instante (o indutor está absorvendo energia).
Passo 7
Verificação da conservação de energia (consistência numérica):
que coincide com
dentro do arredondamento. Portanto, instantaneamente, a potência fornecida pelo gerador é igual à soma das taxas de variação das energias nos elementos (capacitor e indutor) mais a potência dissipada no resistor.
Um comentário motivador: deu trabalho, mas é sempre assim — primeiro encontra-se a corrente (módulo e fase), daí todas as potências se seguem de forma direta. Você está indo bem!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) (são iguais: soma
)
(b)
(c)
(d)
(e)