Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de 7,20 \Omega, um indutor de 12,0 \mathrm{H} e um capacitor de 3,20 \mu \mathrm{~F}. Inicialmente, o capacitor possui uma carga de 6,20 \mu \mathrm{C} e a corrente é zero. Calcule a carga do capacitor após N ciclos completos para \mathrm{N}=10

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • R=7{,}20\\ \Omega.
    • L=12{,}0\\ \mathrm{H}.
    • C=3{,}20\\ \mu\mathrm{F}=3{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
    • Carga inicial do capacitor: q(0)=q_0=6{,}20\\ \mu\mathrm{C}=6{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • Corrente inicial: i(0)=0.
  • Pergunta:
    • Calcular a carga do capacitor após N ciclos completos para N=10. Ou seja, encontrar q(t) no instante t correspondente a 10 períodos da oscilação amortecida.

Passo 2

Entender o comportamento do circuito RLC série e as equações que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas).
  • O circuito RLC série sem fonte segue a equação diferencial para a carga q(t):
L\,\frac{d^{2}q}{dt^{2}} + R\,\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}\,q = 0.
Explicando cada termo:
  • L\,\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}} vem da fem induzida no indutor (proporcional à variação da corrente).
  • R\,\dfrac{dq}{dt} é a queda de tensão no resistor (a corrente é i=\dfrac{dq}{dt}).
  • \dfrac{1}{C}\,q é a tensão no capacitor (proporcional à carga).
  • É útil escrever essa equação em termos de dois parâmetros:
    • Coeficiente de amortecimento \alpha = \dfrac{R}{2L}.
    • Frequência natural não amortecida \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}.
    • A solução depende se \alpha é maior, igual ou menor que \omega_0. Aqui teremos o caso subamortecido (underdamped) quando \alpha<\omega_0, que gera oscilações amortecidas.

Passo 3

Calcular \alpha e \omega_0 e verificar que o regime é subamortecido.
  • Calcular \alpha:
\alpha = \frac{R}{2L} = \frac{7{,}20}{2\cdot 12{,}0} = \frac{7{,}20}{24{,}0} = 0{,}300\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Calcular \omega_0:
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{12{,}0 \cdot 3{,}20\times10^{-6}}}.
Primeiro calcule LC:
LC = 12{,}0 \cdot 3{,}20\times10^{-6} = 3{,}84\times10^{-5}\\ \mathrm{s^2}.
Então
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{3{,}84\times10^{-5}}}\approx 161{,}336\\ \mathrm{rad/s}.
  • Comparação:
\alpha = 0{,}300 \ll \omega_0 \approx 161{,}336,
logo o circuito é subamortecido e a solução é oscilatória com amortecimento.

Passo 4

Forma geral da solução no caso subamortecido e aplicação das condições iniciais.
  • Para \alpha<\omega_0 definimos a frequência amortecida
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}.
A solução geral para q(t) é
q(t)=e^{-\alpha t}\big(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\big),
onde A e B são constantes determinadas por q(0) e i(0)=\dot q(0).
  • Condições iniciais:
    • q(0)=q_0\Rightarrow A=q_0.
    • Derivando e avaliando em t=0:
\dot q(0) = -\alpha A + B\omega_d = i(0).
Como i(0)=0, obtemos
B = \frac{\alpha A}{\omega_d} = \frac{\alpha q_0}{\omega_d}.
  • Portanto a solução particular com nossas condições é
q(t)=q_0\,e^{-\alpha t}\left(\cos(\omega_d t)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right).

Passo 5

Simplificação para instantes correspondentes a ciclos inteiros e fórmula prática para N ciclos.
  • Um ciclo completo corresponde ao tempo T_d=\dfrac{2\pi}{\omega_d}.
  • Após exatamente N ciclos o tempo é t_N=N T_d e \omega_d t_N = \omega_d (N T_d)=\omega_d\left(N\frac{2\pi}{\omega_d}\right)=2\pi N.
  • Como \cos(2\pi N)=1 e \sin(2\pi N)=0, a expressão para q em t_N simplifica muito:
q(t_N)=q_0\,e^{-\alpha t_N}\big(1+0\big)=q_0\,e^{-\alpha N T_d}.
  • Substituindo T_d=\dfrac{2\pi}{\omega_d}, pode-se escrever o fator de decaimento por ciclo como
q(t_N)=q_0\exp\!\Big(-\frac{\alpha}{\omega_d}2\pi N\Big).
Isto quer dizer: a cada ciclo o valor da carga é multiplicado por e^{-2\pi\alpha/\omega_d}.

Passo 6

Cálculo numérico final para N=10.
  • Calcular \omega_d:
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\alpha^{2}}=\sqrt{(161{,}336)^{2}-(0{,}300)^{2}} \approx 161{,}3355\\ \mathrm{rad/s}.
(levemente menor que \omega_0, diferença insignificante numericamente)
  • Período amortecido:
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx \frac{2\pi}{161{,}3355}\approx 0{,}03895\\ \mathrm{s}.
  • Tempo de N=10 ciclos:
t_{10}=10\,T_d\approx 0{,}3895\\ \mathrm{s}.
  • Exponente do decaimento:
\alpha t_{10}=\alpha\cdot 10T_d = \frac{\alpha}{\omega_d}2\pi\cdot10 \approx 0{,}116800.
  • Finalmente a carga após 10 ciclos:
q(t_{10})=q_0\,e^{-\alpha t_{10}} = 6{,}20\times10^{-6}\,e^{-0{,}116800} \approx 5{,}5179\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Convertendo para microcoulombs:
q(t_{10})\approx 5{,}52\\ \mu\mathrm{C}.

Resposta

q(t_{10})\approx 5{,}52\\ \mu\mathrm{C}

Exercícios relacionados