Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de
, um indutor de
e um capacitor de
. Inicialmente, o capacitor possui uma carga de
e a corrente é zero. Calcule a carga do capacitor após N ciclos completos para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (pegos do enunciado):
-
. -
. -
. - Carga inicial do capacitor:
. - Corrente inicial:
.
-
- Pergunta:
- Calcular a carga do capacitor após
ciclos completos para . Ou seja, encontrar no instante correspondente a períodos da oscilação amortecida.
- Calcular a carga do capacitor após
Passo 2
Entender o comportamento do circuito RLC série e as equações que vamos usar (aulas rápidas e intuitivas).
- O circuito RLC série sem fonte segue a equação diferencial para a carga
:
Explicando cada termo:
-
vem da fem induzida no indutor (proporcional à variação da corrente). -
é a queda de tensão no resistor (a corrente é ). -
é a tensão no capacitor (proporcional à carga). - É útil escrever essa equação em termos de dois parâmetros:
- Coeficiente de amortecimento
. - Frequência natural não amortecida
. - A solução depende se
é maior, igual ou menor que . Aqui teremos o caso subamortecido (underdamped) quando , que gera oscilações amortecidas.
- Coeficiente de amortecimento
Passo 3
Calcular
e
e verificar que o regime é subamortecido.
- Calcular
:
- Calcular
:
Primeiro calcule
:
Então
- Comparação:
logo o circuito é subamortecido e a solução é oscilatória com amortecimento.
Passo 4
Forma geral da solução no caso subamortecido e aplicação das condições iniciais.
- Para
definimos a frequência amortecida
A solução geral para
é
onde
e
são constantes determinadas por
e
.
- Condições iniciais:
-
. - Derivando e avaliando em
:
-
Como
, obtemos
- Portanto a solução particular com nossas condições é
Passo 5
Simplificação para instantes correspondentes a ciclos inteiros e fórmula prática para
ciclos.
- Um ciclo completo corresponde ao tempo
. - Após exatamente
ciclos o tempo é e . - Como
e , a expressão para em simplifica muito:
- Substituindo
, pode-se escrever o fator de decaimento por ciclo como
Isto quer dizer: a cada ciclo o valor da carga é multiplicado por
.
Passo 6
Cálculo numérico final para
.
- Calcular
:
(levemente menor que
, diferença insignificante numericamente)
- Período amortecido:
- Tempo de
ciclos:
- Exponente do decaimento:
- Finalmente a carga após
ciclos:
Convertendo para microcoulombs: