(33% da nota) Um gás ideal sofre uma compressão adiabática de p=1,0 \mathrm{~atm}, V=2,0 \times 10^{6} \mathrm{Le} T=273^{\circ} \mathrm{C} para p=1,0 \times 10^{5} \mathrm{~atm} e V=2,0 \times 10^{3} \mathrm{~L}. (a) Determine se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico. (b) Encontre a temperatura final. (c) Calcule quantos mols de gás estão presentes. (d) Obtenha a energia cinética de translação por mol antes e depois da compressão. (e) Determine a razão entre os quadrados das velocidades médias quadráticas antes e após a compressão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede. Há um pequeno detalhe confuso no enunciado (aparentemente foi escrito “273^{\circ}\mathrm{C}” e houve sinais estranhos nas unidades), então vou explicitar a interpretação adotada para poder resolver o problema sem perguntar nada.
Dados (adotados / interpretados):
  • pressão inicial: p_i = 1{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • volume inicial: V_i = 2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{L}.
  • temperatura inicial: vou interpretar como T_i = 273\\ \mathrm{K} (ou seja, 0^\circ\mathrm{C}). Se realmente fosse 273^\circ\mathrm{C} os resultados seriam diferentes; aqui assumo a forma mais usual do exercício.
  • pressão final: p_f = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{atm} (esse valor é compatível com os demais dados e com uma compressão adiabática forte).
  • volume final: V_f = 2{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{L}.
O enunciado pede:
(a) identificar se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico;
(b) encontrar a temperatura final T_f;
(c) calcular o número de mols n;
(d) obter a energia cinética de translação por mol antes e depois da compressão;
(e) determinar a razão entre os quadrados das velocidades médias quadráticas antes e após a compressão.
Observação: todos os cálculos serão feitos assumindo gás ideal e processo adiabático reversível, usando as relações padrão do gás ideal e da termodinâmica molecular.

Passo 2

Encontrar o expoente adiabático \gamma a partir da lei adiabática
p V^{\gamma}=\text{constante}.
Dessa lei, usando os dois estados,
p_i V_i^{\gamma}=p_f V_f^{\gamma}\quad\Longrightarrow\quad \gamma=\frac{\ln\!\left(\dfrac{p_f}{p_i}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{V_i}{V_f}\right)}.
Agora substituo os valores numéricos:
\frac{p_f}{p_i}=\frac{1{,}0\times10^{5}}{1{,}0}=10^{5}, \qquad \frac{V_i}{V_f}=\frac{2{,}0\times10^{6}}{2{,}0\times10^{3}}=10^{3}.
Logo
\gamma=\frac{\ln(10^{5})}{\ln(10^{3})}=\frac{5\ln 10}{3\ln 10}=\frac{5}{3}\approx1{,}666\ldots
Explicação didática curta: \gamma (razão dos calores específicos) aparece na relação adiabática. Calculando \gamma a partir dos dados obtém-se um número característico do tipo de gás.

Passo 3

Determinar se o gás é mono-, di- ou poliatômico usando \gamma. Para um gás ideal com f graus de liberdade (translação+rotação, vibração desprezada se não ativada) valem as relações:
C_V=\frac{f}{2}R,\qquad C_P=C_V+R=\left(\frac{f}{2}+1\right)R,
portanto
\gamma=\frac{C_P}{C_V}=1+\frac{2}{f}.
Invertendo:
f=\frac{2}{\gamma-1}.
Substituindo \gamma=\dfrac{5}{3}:
f=\frac{2}{\tfrac{5}{3}-1}=\frac{2}{\tfrac{2}{3}}=3.
Interpretação: f=3 significa três graus de liberdade (apenas translação) — isto corresponde a um gás monoatômico. Conclusão: o gás é monoatômico.

Passo 4

Encontrar a temperatura final usando a relação adiabática equivalente para temperaturas:
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Assim
T_f = T_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}.
Como \gamma-1=\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3} e \dfrac{V_i}{V_f}=10^{3}, temos
T_f = 273\\ \mathrm{K}\times\left(10^{3}\right)^{2/3}.
Calcule \left(10^{3}\right)^{2/3}=\left(10^{3}\right)^{\tfrac{2}{3}}=10^{2}=100. Portanto
T_f = 273\\ \mathrm{K}\times 100 = 27300\\ \mathrm{K}.
Comentário didático: a potência simplifica porque 1000^{2/3}=(10^3)^{2/3}=10^{2}. O salto de temperatura é grande porque a compressão adiabática é muito intensa.

Passo 5

Calcular o número de mols n usando a equação dos gases ideais no estado inicial:
p_i V_i = n R T_i.
Aqui uso unidades compatíveis: p em \mathrm{atm}, V em \mathrm{L}, T em \mathrm{K} e R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}. Logo
n=\frac{p_i V_i}{R T_i}=\frac{1{,}0\times(2{,}0\times10^{6})}{0{,}082057\times 273}.
Uma observação prática: a combinação R T_i com T_i=273\\ \mathrm{K} dá aproximadamente 22{,}414\\ \mathrm{L/mol} (o volume molar em CNTP). Assim
n\approx\frac{2{,}0\times10^{6}}{22{,}414}\approx 8{,}93\times10^{4}\\ \text{mol}.
Explicando: isto significa cerca de 8{,}9\cdot10^{4} mols de gás.

Passo 6

Energia cinética de translação por mol antes e depois. Para um gás monoatômico (somente energia translacional), a energia cinética de translação por mol é
E_{\text{trans, mol}}=\frac{3}{2}R T,
onde R=8{,}3145\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} quando queremos energia em joules. Então:
  • antes:
E_{i}=\frac{3}{2}R T_i=\frac{3}{2}\times 8{,}3145\times 273\\ \mathrm{J/mol}\approx 3{,}405\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.
  • depois:
E_{f}=\frac{3}{2}R T_f=\frac{3}{2}\times 8{,}3145\times 27300\\ \mathrm{J/mol}.
Como T_f=100\,T_i, tem-se E_f=100\,E_i, logo
E_{f}\approx 3{,}405\times10^{5}\\ \mathrm{J/mol}.
Breve comentário didático: para gás monoatômico a energia interna por mol é puramente translacional e cresce linearmente com T.

Passo 7

Razão entre os quadrados das velocidades médias quadráticas (velocidade quadrática média é o RMS velocity). A relação entre a velocidade quadrática média por molécula e a temperatura é
\frac{1}{2}m\langle v^{2}\rangle = \frac{3}{2}k_B T,
ou, por mol,
\frac{1}{2}M\langle v^{2}\rangle = \frac{3}{2}R T,
onde M é a massa molar (kg/mol). Assim
\langle v^{2}\rangle = \frac{3R T}{M}.
Logo a razão entre os quadrados das velocidades média-quadráticas nos dois estados depende apenas da razão das temperaturas:
\frac{\langle v^{2}\rangle_i}{\langle v^{2}\rangle_f}=\frac{T_i}{T_f}.
Como T_f=100\,T_i, obtemos
\frac{\langle v^{2}\rangle_i}{\langle v^{2}\rangle_f}=\frac{1}{100}=0{,}01.
Comentário: isto é independente da massa molar; é consequência direta da proporcionalidade \langle v^{2}\rangle\propto T.

Resposta

(a) Monoatômico.
(b) T_f = 27300\\ \mathrm{K}.
(c) n \approx 8{,}93\times 10^{4}\\ \mathrm{mol}.
(d) E_{\text{trans, por mol, antes}} \approx 3{,}405\times 10^{3}\\ \mathrm{J/mol}
E_{\text{trans, por mol, depois}} \approx 3{,}405\times 10^{5}\\ \mathrm{J/mol}.
(e) \dfrac{\langle v^{2}\rangle_i}{\langle v^{2}\rangle_f}=0{,}01.

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