(33% da nota) Um gás ideal sofre uma compressão adiabática de
para
e
. (a) Determine se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico. (b) Encontre a temperatura final. (c) Calcule quantos mols de gás estão presentes. (d) Obtenha a energia cinética de translação por mol antes e depois da compressão. (e) Determine a razão entre os quadrados das velocidades médias quadráticas antes e após a compressão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede. Há um pequeno detalhe confuso no enunciado (aparentemente foi escrito “273^{\circ}\mathrm{C}” e houve sinais estranhos nas unidades), então vou explicitar a interpretação adotada para poder resolver o problema sem perguntar nada.
Dados (adotados / interpretados):
- pressão inicial:
. - volume inicial:
. - temperatura inicial: vou interpretar como
(ou seja, ). Se realmente fosse os resultados seriam diferentes; aqui assumo a forma mais usual do exercício. - pressão final:
(esse valor é compatível com os demais dados e com uma compressão adiabática forte). - volume final:
.
O enunciado pede:
(a) identificar se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico;
(b) encontrar a temperatura final ;
(c) calcular o número de mols ;
(d) obter a energia cinética de translação por mol antes e depois da compressão;
(e) determinar a razão entre os quadrados das velocidades médias quadráticas antes e após a compressão.
(a) identificar se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico;
(b) encontrar a temperatura final
(c) calcular o número de mols
(d) obter a energia cinética de translação por mol antes e depois da compressão;
(e) determinar a razão entre os quadrados das velocidades médias quadráticas antes e após a compressão.
Observação: todos os cálculos serão feitos assumindo gás ideal e processo adiabático reversível, usando as relações padrão do gás ideal e da termodinâmica molecular.
Passo 2
Encontrar o expoente adiabático
a partir da lei adiabática
Dessa lei, usando os dois estados,
Agora substituo os valores numéricos:
Logo
Explicação didática curta:
(razão dos calores específicos) aparece na relação adiabática. Calculando
a partir dos dados obtém-se um número característico do tipo de gás.
Passo 3
Determinar se o gás é mono-, di- ou poliatômico usando
. Para um gás ideal com
graus de liberdade (translação+rotação, vibração desprezada se não ativada) valem as relações:
portanto
Invertendo:
Substituindo
:
Interpretação:
significa três graus de liberdade (apenas translação) — isto corresponde a um gás monoatômico. Conclusão: o gás é monoatômico.
Passo 4
Encontrar a temperatura final usando a relação adiabática equivalente para temperaturas:
Assim
Como
e
, temos
Calcule
. Portanto
Comentário didático: a potência simplifica porque
. O salto de temperatura é grande porque a compressão adiabática é muito intensa.
Passo 5
Calcular o número de mols
usando a equação dos gases ideais no estado inicial:
Aqui uso unidades compatíveis:
em
,
em
,
em
e
. Logo
Uma observação prática: a combinação
com
dá aproximadamente
(o volume molar em CNTP). Assim
Explicando: isto significa cerca de
mols de gás.
Passo 6
Energia cinética de translação por mol antes e depois. Para um gás monoatômico (somente energia translacional), a energia cinética de translação por mol é
onde
quando queremos energia em joules. Então:
- antes:
- depois:
Como
, tem-se
, logo
Breve comentário didático: para gás monoatômico a energia interna por mol é puramente translacional e cresce linearmente com
.
Passo 7
Razão entre os quadrados das velocidades médias quadráticas (velocidade quadrática média é o RMS velocity). A relação entre a velocidade quadrática média por molécula e a temperatura é
ou, por mol,
onde
é a massa molar (kg/mol). Assim
Logo a razão entre os quadrados das velocidades média-quadráticas nos dois estados depende apenas da razão das temperaturas:
Como
, obtemos
Comentário: isto é independente da massa molar; é consequência direta da proporcionalidade
.
Resposta
(a) Monoatômico.
(b) .
(c) .
(d)
.
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)