Um oscilador harmônico amortecido na ressonância frequência de ressonância 12,2 \mathrm{~Hz}, oscila com frequência igual a 12,0 \mathrm{~Hz}. Qual a taxa de decréscimo da amplitude cada período?

Passo 1

O enunciado dá duas frequências e pede a taxa de decréscimo da amplitude a cada período. Vou listar claramente o que temos (pego estes números do enunciado):
  • Frequência de ressonância (frequência natural não amortecida): \,f_0=12{,}2\\ \mathrm{Hz}.
  • Frequência de oscilação observada (frequência amortecida): \,f_d=12{,}0\\ \mathrm{Hz}.
O que se pede: a fração da amplitude que se perde a cada período da oscilação amortecida, isto é, a razão entre a queda da amplitude num período e a amplitude anterior (ou equivalente: a razão A_{n+1}/A_n e a porcentagem de decréscimo por período).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e concreta).
  • Para um oscilador harmônico linear amortecido, definimos as seguintes quantidades:
    • \omega_0 é a pulsação natural não amortecida (rad/s), e \omega_0=2\pi f_0.
    • \omega_d é a pulsação da oscilação amortecida (rad/s), e \omega_d=2\pi f_d.
    • \gamma é a taxa de amortecimento (em s^{-1}), que aparece no fator exponencial de decaimento da amplitude.
  • A relação entre essas quantidades no regime subamortecido (oscilatório) é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^{2}-\gamma^{2}}.
Desse modo,
\gamma=\sqrt{\omega_0^{2}-\omega_d^{2}}.
Vou transformar isso em frequências f (em Hz). Como \omega=2\pi f, temos
\gamma= \sqrt{(2\pi f_0)^{2}-(2\pi f_d)^{2}}=2\pi\sqrt{f_0^{2}-f_d^{2}}.
Agora calculo \sqrt{f_0^{2}-f_d^{2}}:
f_0^{2}-f_d^{2}=12{,}2^{2}-12{,}0^{2}=148{,}84-144{,}00=4{,}84.
Como \sqrt{4{,}84}=2{,}2, segue
\gamma=2\pi\times 2{,}2=4{,}4\pi\\ \mathrm{s^{-1}}.
Se quiser um valor numérico,
\gamma\approx 4{,}4\times 3{,}14159265\approx 13{,}823\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Como a amplitude decai exponencialmente com o tempo, a lei é
A(t)=A_0 e^{-\gamma t},
onde A_0 é a amplitude inicial. Após um período da oscilação amortecida, T_d=1/f_d, a razão entre amplitudes sucessivas é
\frac{A(t+T_d)}{A(t)}=e^{-\gamma T_d}.
Calculo T_d:
T_d=\frac{1}{f_d}=\frac{1}{12{,}0}\\ \mathrm{s}=\tfrac{1}{12}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}083333\\ \mathrm{s}.
O expoente é
\gamma T_d=(4{,}4\pi)\times\frac{1}{12}=\frac{4{,}4\pi}{12}=\frac{11\pi}{30}\approx 1{,}151917.
Portanto a razão das amplitudes por período é
\frac{A_{n+1}}{A_n}=e^{-\gamma T_d}=e^{-11\pi/30}\approx e^{-1{,}151917}\approx 0{,}316.

Passo 4

Interpretação numérica e taxa de decréscimo por período.
  • A amplitude fica multiplicada por aproximadamente \,0{,}316 a cada período.
  • A fração perdida a cada período é
1-\frac{A_{n+1}}{A_n}=1-0{,}316\approx 0{,}684.
Em porcentagem, o decréscimo por período é cerca de 68{,}4\%.
Pequeno incentivo: é um amortecimento relativamente forte (a cada oscilação a amplitude já cai muito), por isso a razão fica bem menor que 1.

Resposta

\dfrac{A_{n+1}}{A_n}=e^{-11\pi/30}\approx0{,}316
Taxa de decréscimo por período \approx68{,}4\%

Exercícios relacionados