Um oscilador harmônico amortecido na ressonância frequência de ressonância
, oscila com frequência igual a
. Qual a taxa de decréscimo da amplitude cada período?
Passo 1
O enunciado dá duas frequências e pede a taxa de decréscimo da amplitude a cada período. Vou listar claramente o que temos (pego estes números do enunciado):
- Frequência de ressonância (frequência natural não amortecida):
. - Frequência de oscilação observada (frequência amortecida):
.
O que se pede: a fração da amplitude que se perde a cada período da oscilação amortecida, isto é, a razão entre a queda da amplitude num período e a amplitude anterior (ou equivalente: a razão
e a porcentagem de decréscimo por período).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e concreta).
- Para um oscilador harmônico linear amortecido, definimos as seguintes quantidades:
-
é a pulsação natural não amortecida (rad/s), e . -
é a pulsação da oscilação amortecida (rad/s), e . -
é a taxa de amortecimento (em s^{-1}), que aparece no fator exponencial de decaimento da amplitude.
-
- A relação entre essas quantidades no regime subamortecido (oscilatório) é
Desse modo,
Vou transformar isso em frequências
(em Hz). Como
, temos
Agora calculo
:
Como
, segue
Se quiser um valor numérico,
Passo 3
Como a amplitude decai exponencialmente com o tempo, a lei é
onde
é a amplitude inicial. Após um período da oscilação amortecida,
, a razão entre amplitudes sucessivas é
Calculo
:
O expoente é
Portanto a razão das amplitudes por período é
Passo 4
Interpretação numérica e taxa de decréscimo por período.
- A amplitude fica multiplicada por aproximadamente
a cada período. - A fração perdida a cada período é
Em porcentagem, o decréscimo por período é cerca de
.
Pequeno incentivo: é um amortecimento relativamente forte (a cada oscilação a amplitude já cai muito), por isso a razão fica bem menor que 1.
Resposta
Taxa de decréscimo por período