Um oscilador de massa 500 g e periodo de 0,50 \mathrm{~s} tem uma amplitude que decresce 2,0 \% a cada oscilação completa. Se sua amplitude inicial é 10 cm , qual será sua amplitude após 12 s ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (todos os números abaixo foram tomados do enunciado).
  • Massa: 500\\ \text{g}.
  • Período do oscilador: T=0{,}50\\ \text{s}.
  • A amplitude decresce 2{,}0\% a cada oscilação completa.
  • Amplitude inicial: A_0=10\\ \text{cm}.
  • Tempo após o qual queremos a amplitude: t=12\\ \text{s}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a amplitude do oscilador após 12\\ \text{s}.

Passo 2

Entender quantas oscilações completas ocorrem em 12\\ \text{s}. O período T é o tempo de uma oscilação completa, então o número de oscilações completas n em t segundos é
n=\frac{t}{T}.
Substituindo os valores dados:
n=\frac{12}{0{,}50}=24.
Portanto ocorrem exatamente 24 oscilações completas em 12\\ \text{s}. Observação: a massa 500\\ \text{g} não é necessária para o cálculo da amplitude quando o enunciado já informa a porcentagem de decaimento por oscilação.

Passo 3

Modelagem do decaimento da amplitude. Quando uma grandeza decresce por uma porcentagem fixa a cada passo discreto (aqui, a cada oscilação), a sequência de amplitudes forma uma progressão geométrica. Se a amplitude diminui 2{,}0\% por oscilação, então a razão multiplicativa por oscilação é
q=1-0{,}02=0{,}98.
A amplitude após n oscilações é dada por
A_n=A_0\,q^{\,n}=A_0\,(0{,}98)^{n},
onde A_0 é a amplitude inicial e n o número de oscilações completas.

Passo 4

Aplicar a fórmula com A_0=10\\ \text{cm} e n=24:
A_{24}=10\,(0{,}98)^{24}\\ \text{cm}.
Agora vamos calcular (0{,}98)^{24} de forma explícita por multiplicações sucessivas (para que dê para fazer sem calculadora se precisar). Primeiro calculo alguns potências intermediárias:
\begin{aligned} (0{,}98)^2&=0{,}9604,\\\ (0{,}98)^4&=(0{,}9604)^2=0{,}92236816,\\\ (0{,}98)^8&=(0{,}92236816)^2=0{,}8507630225817856,\\\ (0{,}98)^{12}&=(0{,}98)^8\cdot(0{,}98)^4\approx0{,}8507630225817856\cdot0{,}92236816\\\ &\approx0{,}7847167237348009. \end{aligned}
Finalmente
(0{,}98)^{24}=\big((0{,}98)^{12}\big)^2\approx(0{,}7847167237348009)^2\approx0{,}615767\ldots
(esse valor foi obtido elevando ao quadrado o resultado anterior; usa-se esse procedimento para manter o cálculo acessível sem recorrer a funções transcendentes).

Passo 5

Calcular a amplitude final:
A_{24}=10\cdot0{,}615767\ldots\\ \text{cm}\approx6{,}16\\ \text{cm}.
Interpretação rápida: a amplitude caiu de 10\\ \text{cm} para cerca de 6{,}16\\ \text{cm} após 24 oscilações, porque um decaimento de 2{,}0\% por oscilação composto 24 vezes reduz a amplitude para aproximadamente 61{,}6\% do valor inicial.

Resposta

\,6{,}16\\ \text{cm}

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