Um oscilador de massa 500 g e periodo de
tem uma amplitude que decresce
a cada oscilação completa. Se sua amplitude inicial é 10 cm , qual será sua amplitude após
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (todos os números abaixo foram tomados do enunciado).
- Massa:
. - Período do oscilador:
. - A amplitude decresce
a cada oscilação completa. - Amplitude inicial:
. - Tempo após o qual queremos a amplitude:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a amplitude do oscilador após
.
Passo 2
Entender quantas oscilações completas ocorrem em
. O período
é o tempo de uma oscilação completa, então o número de oscilações completas
em
segundos é
Substituindo os valores dados:
Portanto ocorrem exatamente
oscilações completas em
. Observação: a massa
não é necessária para o cálculo da amplitude quando o enunciado já informa a porcentagem de decaimento por oscilação.
Passo 3
Modelagem do decaimento da amplitude. Quando uma grandeza decresce por uma porcentagem fixa a cada passo discreto (aqui, a cada oscilação), a sequência de amplitudes forma uma progressão geométrica. Se a amplitude diminui
por oscilação, então a razão multiplicativa por oscilação é
A amplitude após
oscilações é dada por
onde
é a amplitude inicial e
o número de oscilações completas.
Passo 4
Aplicar a fórmula com
e
:
Agora vamos calcular
de forma explícita por multiplicações sucessivas (para que dê para fazer sem calculadora se precisar). Primeiro calculo alguns potências intermediárias:
Finalmente
(esse valor foi obtido elevando ao quadrado o resultado anterior; usa-se esse procedimento para manter o cálculo acessível sem recorrer a funções transcendentes).
Passo 5
Calcular a amplitude final:
Interpretação rápida: a amplitude caiu de
para cerca de
após
oscilações, porque um decaimento de
por oscilação composto
vezes reduz a amplitude para aproximadamente
do valor inicial.