( 33 \% da nota) O volume de uma amostra de gás ideal é reduzido adiabaticamente de 400 L para 148,6 \mathrm{~L}. A pressão e a temperatura iniciais são 1,00 \mathrm{~atm} e 600 K , e a pressão final é 4,00 \mathrm{~atm}. (a) Determine se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico. (b) Qual é a temperatura final? (c) Quantos mols de gás existem na amostra?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Volume inicial: V_1 = 400\\ \mathrm{L}.
  • Volume final: V_2 = 148{,}6\\ \mathrm{L}.
  • Pressão inicial: P_1 = 1{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão final: P_2 = 4{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 600\\ \mathrm{K}.
  • O processo é dito adiabático (sem troca de calor).
O enunciado pede:
(a) Determinar se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico.
(b) Calcular a temperatura final T_2.
(c) Determinar o número de mols n da amostra.

Passo 2

Entendendo a relação adiabática e como extrair o expoente \gamma.
Para um gás ideal que sofre transformação adiabática reversível vale a lei
P V^{\gamma}=\text{constante},
onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • \gamma é a razão de capacidades caloríficas \gamma = \dfrac{C_P}{C_V}.
Da igualdade entre os estados 1 e 2 temos
P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}.
Isolando \gamma obtemos
\gamma = \frac{\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)}.
Agora substituímos os valores dados:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{4{,}00}{1{,}00}=4{,}00, \qquad \frac{V_1}{V_2}=\frac{400}{148{,}6}\approx 2{,}691358.
Calcule os logaritmos (uso logaritmo natural):
\ln(4)\approx 1{,}386294,\qquad \ln\!\bigl(2{,}691358\bigr)\approx 0{,}991670.
Portanto
\gamma \approx \frac{1{,}386294}{0{,}991670}\approx 1{,}398 \approx 1{,}40.

Passo 3

Interpretação do valor de \gamma e classificação do gás.
Resumo útil (valores típicos para gases ideais sem excitação vibracional):
  • Monotômico: \gamma = \dfrac{5}{3}\approx 1{,}667.
  • Diatômico (com rotações ativas, sem vibrações): \gamma = \dfrac{7}{5}=1{,}40.
  • Poliatômico não-linear típico: \gamma menor que 1{,}40 (por exemplo \approx 1{,}33 para f=6).
Como encontramos \gamma\approx 1{,}40, isto corresponde ao valor esperado para um gás diatômico. Conclusão: o gás é diatômico.

Passo 4

Cálculo da temperatura final T_2 usando a relação adiabática entre T e V.
Para um processo adiabático reversível de gás ideal também vale
T V^{\gamma-1} = \text{constante},
logo
T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1},
e isolando T_2:
T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.
Já temos \gamma\approx 1{,}398, assim \gamma-1\approx 0{,}398. Usando \dfrac{V_1}{V_2}\approx 2{,}691358 e T_1=600\\ \mathrm{K}:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = (\gamma-1)\ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right)\approx 0{,}398\times 0{,}991670 \approx 0{,}3945,
portanto
\frac{T_2}{T_1} \approx e^{0{,}3945}\approx 1{,}4836,
e
T_2 \approx 600\times 1{,}4836 \approx 890\\ \mathrm{K}.
(O mesmo resultado surge se usar T_2/T_1=(P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma}.)

Passo 5

Cálculo do número de mols n usando a equação de estado do gás ideal.
A equação de estado é
P V = n R T,
onde R é a constante dos gases. Usaremos a forma prática em \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)}:
R = 0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Usamos os dados no estado inicial (valores dados com maior precisão conhecida):
n = \frac{P_1 V_1}{R T_1} = \frac{1{,}00\\ \mathrm{atm}\times 400\\ \mathrm{L}}{0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times 600\\ \mathrm{K}}.
Calcule o denominador:
R T_1 = 0{,}082057\times 600 \approx 49{,}2342.
Portanto
n \approx \frac{400}{49{,}2342}\approx 8{,}12\\ \text{mol}.
(Como checagem rápida, usar P_2,V_2,T_2 na equação de estado dá número de mols muito próximo, divergindo apenas por arredondamentos.)

Resposta

(a) Diatômico.
(b) T_2 \approx 8{,}90\times 10^{2}\\ \mathrm{K} (aprox. 890\\ \mathrm{K}).
(c) n \approx 8{,}12\\ \mathrm{mol}.

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