A expressão matemática abaixo descreve uma onda estacionária que vibra em uma corda no terceiro harmônico.
Baseado na análise dessa função de onda, determine:
a) o comprimento da corda;
b) os pontos de nó no eixo
.
Baseado na análise dessa função de onda, determine:
a) o comprimento da corda;
b) os pontos de nó no eixo
Passo 1
O enunciado nos dá a função de onda estacionária (peguei os parâmetros diretamente da expressão fornecida):
- Amplitude:
(não será necessária para comprimento nem posições de nó, mas está aí). - Dependência espacial:
. Logo o número de onda é . - Dependência temporal:
(frequência angular , não necessária para as perguntas pedidas). - O enunciado diz que é o terceiro harmônico.
O que se pede:
a) o comprimento da corda ;
b) os pontos de nó sobre o eixo (as posições
onde a corda permanece sempre em zero).
a) o comprimento da corda
b) os pontos de nó sobre o eixo
Passo 2
Lembrando a relação entre número de onda
e comprimento de onda
. A definição é
onde:
-
é o número de onda (unidade ); -
é o comprimento de onda (unidade ).
Vamos isolar
:
Substituindo
:
Fazendo a conta:
Passo 3
Agora usar a informação de que é o terceiro harmônico. Para uma corda fixa nas duas extremidades, os modos estacionários satisfazem que um número inteiro
de meios-comprimentos de onda cabe no comprimento
:
onde
é o número do harmônico (modo):
é fundamental,
é segundo harmônico, etc. Aqui
.
Portanto
Substituindo
:
Passo 4
Como verificação alternativa (útil na prova): para modos de uma corda fixa, o número de onda do modo
também pode ser escrito como
Isolando
temos
Substituindo
e
:
o mesmo resultado — sinal de que está consistente.
Passo 5
Para achar os nós: na expressão da onda
os pontos de nó são os
tais que a parte espacial é sempre zero, isto é
para todo tempo. A condição é
onde
é um inteiro (positivo, zero ou negativo). Daí
Usando
:
porque
(verifique com
). Ou seja, os nós estão espaçados de
.
Passo 6
Agora listar os nós que pertencem à corda, ou seja
. Como
, os valores possíveis de
que caem no intervalo são
. Calculando:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses são todos os nós internos e as extremidades (as extremidades
e
são nós por se tratar de corda fixa).
Resposta
a)
(80 cm)
b) Nós em (ou em centímetros:
,
,
,
).
b) Nós em