(1,5) A expressão matemática abaixo descreve uma onda estacionária que vibra em uma corda no terceiro harmônico.
\gamma=(7,0 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}[(15 \pi / 4 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) \times] \cos [(16 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}]
Baseado na análise dessa função de onda, determine:
a) o comprimento da corda;
b) os pontos de nó no eixo x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda estacionária (peguei os parâmetros diretamente da expressão fornecida):
  • Amplitude: A = 7{,}0\\ \mathrm{cm} (não será necessária para comprimento nem posições de nó, mas está aí).
  • Dependência espacial: \sin\!\bigl((15\pi/4)\,x\bigr). Logo o número de onda é k=\dfrac{15\pi}{4}\\ \mathrm{rad/m}.
  • Dependência temporal: \cos\!\bigl((16\pi)\,t\bigr) (frequência angular \omega = 16\pi\\ \mathrm{rad/s}, não necessária para as perguntas pedidas).
  • O enunciado diz que é o terceiro harmônico.
O que se pede:
a) o comprimento da corda L;
b) os pontos de nó sobre o eixo x (as posições x onde a corda permanece sempre em zero).

Passo 2

Lembrando a relação entre número de onda k e comprimento de onda \lambda. A definição é
k=\frac{2\pi}{\lambda},
onde:
  • k é o número de onda (unidade \mathrm{rad/m});
  • \lambda é o comprimento de onda (unidade \mathrm{m}).
Vamos isolar \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=\dfrac{15\pi}{4}:
\lambda=\frac{2\pi}{\dfrac{15\pi}{4}}=2\pi\cdot\frac{4}{15\pi}=\frac{8}{15}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a conta:
\lambda=\frac{8}{15}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}533\overline{3}\\ \mathrm{m}=53{,}33\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Agora usar a informação de que é o terceiro harmônico. Para uma corda fixa nas duas extremidades, os modos estacionários satisfazem que um número inteiro m de meios-comprimentos de onda cabe no comprimento L:
L=\frac{m\lambda}{2},
onde m é o número do harmônico (modo): m=1 é fundamental, m=2 é segundo harmônico, etc. Aqui m=3.
Portanto
L=\frac{3\lambda}{2}.
Substituindo \lambda=\dfrac{8}{15}\\ \mathrm{m}:
L=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{15}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}\\ \mathrm{m}=0{,}8\\ \mathrm{m}=80\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Como verificação alternativa (útil na prova): para modos de uma corda fixa, o número de onda do modo m também pode ser escrito como
k_m=\frac{m\pi}{L}.
Isolando L temos
L=\frac{m\pi}{k}.
Substituindo m=3 e k=\dfrac{15\pi}{4}:
L=\frac{3\pi}{\dfrac{15\pi}{4}}=3\pi\cdot\frac{4}{15\pi}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\\ \mathrm{m}=0{,}8\\ \mathrm{m},
o mesmo resultado — sinal de que está consistente.

Passo 5

Para achar os nós: na expressão da onda y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t) os pontos de nó são os x tais que a parte espacial é sempre zero, isto é \sin(kx)=0 para todo tempo. A condição é
\sin(kx)=0 \quad\Longrightarrow\quad kx = n\pi,
onde n é um inteiro (positivo, zero ou negativo). Daí
x_n=\frac{n\pi}{k}.
Usando k=\dfrac{15\pi}{4}:
x_n=\frac{n\pi}{15\pi/4}=n\cdot\frac{4}{15}=n\cdot\frac{\lambda}{2},
porque \dfrac{4}{15}=\dfrac{\lambda}{2} (verifique com \lambda=8/15). Ou seja, os nós estão espaçados de \lambda/2.

Passo 6

Agora listar os nós que pertencem à corda, ou seja 0\le x\le L. Como L=\dfrac{3\lambda}{2}, os valores possíveis de n que caem no intervalo são n=0,1,2,3. Calculando:
  • Para n=0:
x_0=0\\ \mathrm{m}.
  • Para n=1:
x_1=\frac{1\cdot4}{15}\\ \mathrm{m}=\frac{4}{15}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}266\overline{6}\\ \mathrm{m}=26{,}67\\ \mathrm{cm}.
  • Para n=2:
x_2=\frac{2\cdot4}{15}=\frac{8}{15}\\ \mathrm{m}=\lambda\approx 0{,}533\overline{3}\\ \mathrm{m}=53{,}33\\ \mathrm{cm}.
  • Para n=3:
x_3=\frac{3\cdot4}{15}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}\\ \mathrm{m}=0{,}8\\ \mathrm{m}=80\\ \mathrm{cm}=L.
Esses são todos os nós internos e as extremidades (as extremidades x=0 e x=L são nós por se tratar de corda fixa).

Resposta

a) L=0{,}8\\ \mathrm{m} (80 cm)
b) Nós em x=0,\\\ 0{,}266\overline{6}\\ \mathrm{m},\\\ 0{,}533\overline{3}\\ \mathrm{m},\\\ 0{,}8\\ \mathrm{m} (ou em centímetros: 0, 26{,}67\\ \mathrm{cm}, 53{,}33\\ \mathrm{cm}, 80\\ \mathrm{cm}).

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