(3,33 pontos) Um fluido (
e
) escoa pela tubulação de descarga de um reservatório com perfil de velocidades
, em que
é a velocidade máxima no eixo central do duto. É claro que ao esvaziar o reservatório, o
diminui com o passar do tempo; entretanto, admite-se que, a partir do nível inicial, em que
, e durante 2 min , a velocidade seja aproximadamente constante, com
. Sendo a área de seção do tanque
e
, determine:
(a) (2,0 pontos) A taxa de variação do nível do tanque
;
(b) (1,33 pontos) O novo nível do tanque após 2 min , considerando a hipótese adotada.
(a) (2,0 pontos) A taxa de variação do nível do tanque
(b) (1,33 pontos) O novo nível do tanque após 2 min , considerando a hipótese adotada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei o valor de
da imagem fornecida).
-
Dados fornecidos:
- Perfil de velocidades no duto:
. - Densidade:
(não será necessária para os itens pedidos). - Cinemática:
(não será necessária). - Velocidade máxima (assumida constante durante 2 min):
. - Raio do duto:
. - Expoente do perfil:
. - Área da seção do tanque:
. - Nível inicial do tanque (peguei da imagem):
. - Tempo de interesse:
.
- Perfil de velocidades no duto:
-
O que o enunciado pede:
- (a) A taxa de variação do nível do tanque
. - (b) O novo nível do tanque após
min, usando a hipótese de constante.
- (a) A taxa de variação do nível do tanque
Passo 2
Entender como obter a vazão volumétrica
a partir do perfil de velocidades e relacionar
com
.
- A vazão volumétrica que sai pelo duto é a integral da velocidade sobre a área da seção circular:
- Em coordenadas polares,
e a integral radial vai de até . Substituindo o perfil:
- Para computar a integral, fazemos a mudança de variável
, logo e . Assim
- Esta integral pode ser calculada de maneira elementar: com a substituição
obtemos
- Portanto a expressão fechada para
é
- A velocidade média na seção é
, então
Passo 3
Aplicar
para obter o fator entre
e
, e calcular
.
- Calcular
com :
- Logo
- Assim a velocidade média é
- Substituindo
:
Passo 4
Calcular a vazão
numericamente.
- Área da seção do duto:
- Vazão:
Passo 5
Relacionar a vazão
com a variação do nível do tanque e calcular
.
- A massa/volume que sai provoca diminuição do volume do tanque:
. - Como
, tem-se . Portanto
- Substituindo
e :
- Se preferir em
:
Passo 6
Calcular o novo nível depois de
, assumindo taxa constante.
- Com taxa constante,
- Substituindo
, e :
Resposta
(a)
(aprox.
).
(b) (aprox.
).
(b)