Com base nestas informações, solicita-se:
(a) Desenvolver uma expressão para a velocidade no tubo menor
para o escoamento ideal em termos da altura de água H lida no manômetro de água conectado entre o ponto de estagnação e a saída do tubo Venturi (
ponto);
(b) Calcular a velocidade de descarga
do tubo de Venturi para o escoamento ideal (0,33 ponto);
(c) Se o coeficiente de descarga do tubo Venturi é igual a 0,60 para o escoamento irreversível e incompressível, calcule a taxa de perda de energia mecânica. A razão entre os diâmetros de saída e entrada do Venturi é igual a
diâmetro de entrada é igual a 30 mm (
ponto).
(a) Desenvolver uma expressão para a velocidade no tubo menor
(b) Calcular a velocidade de descarga
(c) Se o coeficiente de descarga do tubo Venturi é igual a 0,60 para o escoamento irreversível e incompressível, calcule a taxa de perda de energia mecânica. A razão entre os diâmetros de saída e entrada do Venturi é igual a
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei a figura e os dados do enunciado):
- Há um tubo de Venturi por onde escoa ar (fluido principal). Um manômetro em U contendo água está ligado entre o ponto de estagnação (no corpo externo) e a saída do Venturi (ponto identificado como
). - O manômetro lê uma diferença de coluna que chamamos de
(altura de água). - A razão entre os diâmetros de saída e entrada do Venturi é
e o diâmetro de entrada é (dado do enunciado). - O coeficiente de descarga para o Venturi no caso real é
. - O enunciado pede:
(a) desenvolver uma expressão para a velocidade no tubo menorpara o escoamento ideal, em função de ;
(b) calcularpara o escoamento ideal (se for necessário usar um valor numérico de , note que o enunciado não fornece um valor numérico explícito de ; portanto exibirei a expressão e uma forma prática para obter o valor numérico caso o seja conhecido);
(c) para, calcular a taxa (potência) de perda de energia mecânica associada à irreversibilidade, utilizando os dados geométricos fornecidos.
Passo 2
Conceitos físicos essenciais e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Bernoulli entre o ponto de estagnação e o ponto
: no ponto de estagnação a velocidade local é nula, então a diferença de pressão entre o ponto de estagnação (denotado ) e o ponto é puramente cinética quando não há perdas:
Explanação: Bernoulli diz que
constante ao longo de uma linha de corrente; entre um ponto onde
(estagnação) e outro onde
(mesma altitude) a diferença de pressão corresponde à diferença de energia cinética por unidade de volume,
.
- Manômetro em U com líquido de densidade
(água) ligado entre dois pontos transmite a diferença de pressão entre esses pontos em termos da diferença de coluna de líquido do manômetro. Se a diferença de coluna é (vertical), a relação exata, incluindo a densidade do ar , é:
Explanação: traçando uma linha hidrostática através do manômetro e usando que a pressão no mesmo nível do fluido em contínuo deve concidir, obtém-se essa expressão; frequentemente
e então se aproxima por
, mas vou manter a forma geral e depois mostrar a aproximação.
- Ligando as duas expressões acima obtemos
ideal em função de .
Passo 3
Derivação matemática passo a passo da expressão para
(parte a):
- Escrever Bernoulli entre estagnação e a saída (mesma cota assumida):
- Escrever a relação do manômetro (aqui
é a densidade da água, a densidade do ar, a aceleração da gravidade):
- Igualar as duas expressões (pois ambas representam a mesma diferença de pressão):
- Resolver para
:
Isto é a expressão exata que responde (a). Se se desprezar
comparado com
(aproximação comum), a expressão fica
Explicação prática: a leitura
do manômetro converte-se em uma diferença de pressão; essa diferença de pressão, por Bernoulli, corresponde à energia cinética
que dá
.
Passo 4
Aplicação numérica explicada e forma prática de usar a expressão (parte b):
- Para calcular um valor numérico de
é preciso um valor numérico de . O enunciado não fornece um valor numérico explícito de ; portanto não há como dar um número definitivo sem esse dado. - Contudo, se desejar aplicar a expressão na prática, use valores típicos:
-
(água), -
(ar ao nível do mar, ~20 °C), -
.
-
- Substituindo esses números na expressão exata obtemos um fator prático:
onde calculei
. Assim, por exemplo, se
(1 cm) então
. (Isto é só um exemplo de aplicação; substitua o
real que você medir no manômetro.)
Passo 5
Cálculo da perda de energia mecânica quando
(parte c) — ensinando o raciocínio:
- Significado de
: experimentalmente a descarga real é menor que a ideal prevista por Bernoulli; a relação prática para vazão é
onde
velocidade obtida pela fórmula ideal do Passo 3 (ou seja
). Consequentemente a velocidade real no ponto
é
- Energia mecânica dissipada por unidade de massa entre o ponto de estagnação e o ponto
: usando a forma energética de Bernoulli com perda (energia por unidade de massa, J/kg),
Mas
(valor que viria do manômetro se o dispositivo fosse ideal). Assim:
ou, por unidade de massa (J/kg),
Substituindo
:
Isto é a perda de energia mecânica por unidade de massa do ar (J/kg). Se preferir em termos de
:
- Taxa de perda de energia mecânica (potência perdida)
(W): multiplica-se (J/kg) pela vazão mássica :
Usando
isso se simplifica a
- Agora substituímos os números geométricos fornecidos para obter uma expressão prática em função de
(lembrando ): -
, . Área do ponto 2:
- Com
, , , e , calcula-se (após algebra e agrupamento de constantes) que
Explicação rápida do resultado numérico: a dependência aparece porque e a potência envolve . O coeficiente numérico foi obtido substituindo as constantes e o calculado acima; se mudar ou outro parâmetro, esse coeficiente muda. -
Passo 6
Resumo das fórmulas úteis e como usá-las na prova (dicas rápidas):
- Use sempre Bernoulli entre estagnação (onde
) e o ponto de interesse; pressão de estagnação é a pressão total local. - Relacione a diferença de pressão com a leitura do manômetro: sempre escreva a igualdade hidrostática ao seguir a coluna do manômetro (preste atenção às densidades envolvidas).
- Para dispositivos com
, lembre que e que a perda por unidade de massa é . - Para calcular potência perdida:
. Substitua e as expressões acima.
Resposta
(a)
.
(b)
(usando
;
em metros).
(Se fornecer o valor numérico de eu substuirei para dar um número final.)
(Se fornecer o valor numérico de
(c) A perda de energia mecânica por unidade de massa:
A potência dissipada (taxa de perda) usando
,
e
é
com
em metros (usando as densidades e
indicados acima).