Com base nestas informações, solicita-se:
(a) Desenvolver uma expressão para a velocidade no tubo menor \left(V_{2}\right) para o escoamento ideal em termos da altura de água H lida no manômetro de água conectado entre o ponto de estagnação e a saída do tubo Venturi ( \mathbf{2 , 0} ponto);
(b) Calcular a velocidade de descarga \left(V_{2}\right) do tubo de Venturi para o escoamento ideal (0,33 ponto);
(c) Se o coeficiente de descarga do tubo Venturi é igual a 0,60 para o escoamento irreversível e incompressível, calcule a taxa de perda de energia mecânica. A razão entre os diâmetros de saída e entrada do Venturi é igual a 0,8, \mathrm{e} \circ diâmetro de entrada é igual a 30 mm ( \mathbf{1 , 0} ponto).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei a figura e os dados do enunciado):
  • Há um tubo de Venturi por onde escoa ar (fluido principal). Um manômetro em U contendo água está ligado entre o ponto de estagnação (no corpo externo) e a saída do Venturi (ponto identificado como 2).
  • O manômetro lê uma diferença de coluna que chamamos de H (altura de água).
  • A razão entre os diâmetros de saída e entrada do Venturi é D_2/D_1=0{,}8 e o diâmetro de entrada é D_1=30\\ \text{mm}=0{,}03\\ \text{m} (dado do enunciado).
  • O coeficiente de descarga para o Venturi no caso real é C_d=0{,}60.
  • O enunciado pede:
    (a) desenvolver uma expressão para a velocidade no tubo menor V_2 para o escoamento ideal, em função de H;
    (b) calcular V_2 para o escoamento ideal (se for necessário usar um valor numérico de H, note que o enunciado não fornece um valor numérico explícito de H; portanto exibirei a expressão e uma forma prática para obter o valor numérico caso o H seja conhecido);
    (c) para C_d=0{,}60, calcular a taxa (potência) de perda de energia mecânica associada à irreversibilidade, utilizando os dados geométricos fornecidos.

Passo 2

Conceitos físicos essenciais e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Bernoulli entre o ponto de estagnação e o ponto 2: no ponto de estagnação a velocidade local é nula, então a diferença de pressão entre o ponto de estagnação (denotado p_0) e o ponto 2 é puramente cinética quando não há perdas:
p_0 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} V_2^2.
Explanação: Bernoulli diz que p+\tfrac{1}{2}\rho V^2 + \rho g z= constante ao longo de uma linha de corrente; entre um ponto onde V=0 (estagnação) e outro onde V=V_2 (mesma altitude) a diferença de pressão corresponde à diferença de energia cinética por unidade de volume, \tfrac{1}{2}\rho V^2.
  • Manômetro em U com líquido de densidade \rho_w (água) ligado entre dois pontos transmite a diferença de pressão entre esses pontos em termos da diferença de coluna de líquido do manômetro. Se a diferença de coluna é H (vertical), a relação exata, incluindo a densidade do ar \rho_{\text{ar}}, é:
p_0 - p_2 = (\rho_w - \rho_{\text{ar}})\,g\,H.
Explanação: traçando uma linha hidrostática através do manômetro e usando que a pressão no mesmo nível do fluido em contínuo deve concidir, obtém-se essa expressão; frequentemente \rho_{\text{ar}}\ll\rho_w e então se aproxima por p_0-p_2\approx\rho_w g H, mas vou manter a forma geral e depois mostrar a aproximação.
  • Ligando as duas expressões acima obtemos V_2 ideal em função de H.

Passo 3

Derivação matemática passo a passo da expressão para V_2 (parte a):
  1. Escrever Bernoulli entre estagnação e a saída (mesma cota assumida):
p_0 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} V_2^2.
  1. Escrever a relação do manômetro (aqui \rho_w é a densidade da água, \rho_{\text{ar}} a densidade do ar, g a aceleração da gravidade):
p_0 - p_2 = (\rho_w - \rho_{\text{ar}})\,g\,H.
  1. Igualar as duas expressões (pois ambas representam a mesma diferença de pressão):
\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} V_2^2 = (\rho_w - \rho_{\text{ar}})\,g\,H.
  1. Resolver para V_2:
V_2 = \sqrt{\dfrac{2(\rho_w - \rho_{\text{ar}})\,g\,H}{\rho_{\text{ar}}}}.
Isto é a expressão exata que responde (a). Se se desprezar \rho_{\text{ar}} comparado com \rho_w (aproximação comum), a expressão fica
V_2 \approx \sqrt{\dfrac{2\rho_w g H}{\rho_{\text{ar}}}}.
Explicação prática: a leitura H do manômetro converte-se em uma diferença de pressão; essa diferença de pressão, por Bernoulli, corresponde à energia cinética \tfrac12\rho V^2 que dá V_2.

Passo 4

Aplicação numérica explicada e forma prática de usar a expressão (parte b):
  • Para calcular um valor numérico de V_2 é preciso um valor numérico de H. O enunciado não fornece um valor numérico explícito de H; portanto não há como dar um número definitivo sem esse dado.
  • Contudo, se desejar aplicar a expressão na prática, use valores típicos:
    • \rho_w \approx 1000\\ \text{kg/m}^3 (água),
    • \rho_{\text{ar}}\approx 1{,}2\\ \text{kg/m}^3 (ar ao nível do mar, ~20 °C),
    • g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • Substituindo esses números na expressão exata obtemos um fator prático:
V_2 \approx 127{,}85\;\sqrt{H}\quad(\text{m/s, com }H\text{ em m}),
onde calculei 127{,}85=\sqrt{\dfrac{2(1000-1{,}2)\cdot9{,}81}{1{,}2}}. Assim, por exemplo, se H=0{,}01\\ \text{m} (1 cm) então V_2\approx127{,}85\sqrt{0{,}01}=12{,}78\\ \text{m/s}. (Isto é só um exemplo de aplicação; substitua o H real que você medir no manômetro.)

Passo 5

Cálculo da perda de energia mecânica quando C_d=0{,}60 (parte c) — ensinando o raciocínio:
  • Significado de C_d: experimentalmente a descarga real é menor que a ideal prevista por Bernoulli; a relação prática para vazão é
Q_{\text{real}} = C_d \; A_2 \; V_{\text{ideal}},
onde V_{\text{ideal}}= velocidade obtida pela fórmula ideal do Passo 3 (ou seja V_{\text{ideal}}=\sqrt{2\Delta p/\rho_{\text{ar}}}). Consequentemente a velocidade real no ponto 2 é
V_{2,\text{real}} = \dfrac{Q_{\text{real}}}{A_2} = C_d\,V_{\text{ideal}}.
  • Energia mecânica dissipada por unidade de massa entre o ponto de estagnação e o ponto 2: usando a forma energética de Bernoulli com perda h_L (energia por unidade de massa, J/kg),
p_0 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} V_{2,\text{real}}^2 + \rho_{\text{ar}} h_L.
Mas p_0-p_2=\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V_{\text{ideal}}^2 (valor que viria do manômetro se o dispositivo fosse ideal). Assim:
\rho_{\text{ar}} h_L = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V_{\text{ideal}}^2 - \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}}V_{2,\text{real}}^2
ou, por unidade de massa (J/kg),
h_L = \tfrac{1}{2}\bigl(V_{\text{ideal}}^2 - V_{2,\text{real}}^2\bigr).
Substituindo V_{2,\text{real}}=C_d V_{\text{ideal}}:
h_L = \tfrac{1}{2}V_{\text{ideal}}^2\,(1-C_d^2).
Isto é a perda de energia mecânica por unidade de massa do ar (J/kg). Se preferir em termos de V_{2,\text{real}}:
h_L = \dfrac{1-C_d^2}{2 C_d^2}\; V_{2,\text{real}}^2.
  • Taxa de perda de energia mecânica (potência perdida) P_{\text{loss}} (W): multiplica-se h_L (J/kg) pela vazão mássica \dot m = \rho_{\text{ar}} Q_{\text{real}} = \rho_{\text{ar}} A_2 V_{2,\text{real}}:
P_{\text{loss}} = \dot m \, h_L = \rho_{\text{ar}} A_2 V_{2,\text{real}} \cdot \tfrac{1}{2}V_{\text{ideal}}^2(1-C_d^2).
Usando V_{2,\text{real}}=C_d V_{\text{ideal}} isso se simplifica a
P_{\text{loss}} = \rho_{\text{ar}} A_2 C_d \,\dfrac{1-C_d^2}{2}\; V_{\text{ideal}}^3.
  • Agora substituímos os números geométricos fornecidos para obter uma expressão prática em função de H (lembrando V_{\text{ideal}}=\sqrt{\dfrac{2(\rho_w-\rho_{\text{ar}})gH}{\rho_{\text{ar}}}}):
    • D_1=0{,}03\\ \text{m}, D_2=0{,}8 D_1=0{,}024\\ \text{m}. Área do ponto 2:
    A_2 = \tfrac{\pi}{4}D_2^2 = \tfrac{\pi}{4}(0{,}024)^2 \approx 4{,}5239\times10^{-4}\\ \text{m}^2.
    • Com \rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \text{kg/m}^3, \rho_w=1000\\ \text{kg/m}^3, C_d=0{,}60, e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2, calcula-se (após algebra e agrupamento de constantes) que
    P_{\text{loss}} \approx 218\;H^{3/2}\quad(\text{W, com }H\text{ em m}).Explicação rápida do resultado numérico: a dependência H^{3/2} aparece porque V_{\text{ideal}}\propto\sqrt{H} e a potência envolve V_{\text{ideal}}^3. O coeficiente numérico foi obtido substituindo as constantes e o A_2 calculado acima; se mudar \rho_{\text{ar}} ou outro parâmetro, esse coeficiente muda.

Passo 6

Resumo das fórmulas úteis e como usá-las na prova (dicas rápidas):
  • Use sempre Bernoulli entre estagnação (onde V=0) e o ponto de interesse; pressão de estagnação é a pressão total local.
  • Relacione a diferença de pressão com a leitura do manômetro: sempre escreva a igualdade hidrostática ao seguir a coluna do manômetro (preste atenção às densidades envolvidas).
  • Para dispositivos com C_d, lembre que V_{\text{real}}=C_d V_{\text{ideal}} e que a perda por unidade de massa é \tfrac12(V_{\text{ideal}}^2-V_{\text{real}}^2).
  • Para calcular potência perdida: P_{\text{loss}}=\rho Q h_L. Substitua Q= A_2 V_{\text{real}} e as expressões acima.

Resposta

(a) V_2=\displaystyle \sqrt{\dfrac{2(\rho_w-\rho_{\text{ar}})\,g\,H}{\rho_{\text{ar}}}}.
(b) V_2\approx 127{,}85\sqrt{H}\\ \text{m/s} (usando \rho_w=1000\\ \text{kg/m}^3,\\ \rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \text{kg/m}^3,\\ g=9{,}81\\ \text{m/s}^2; H em metros).
(Se fornecer o valor numérico de H eu substuirei para dar um número final.)
(c) A perda de energia mecânica por unidade de massa:
h_L=\tfrac{1}{2}V_{\text{ideal}}^2(1-C_d^2).
A potência dissipada (taxa de perda) usando D_1=0{,}03\\ \text{m}, D_2=0{,}024\\ \text{m} e C_d=0{,}60 é
P_{\text{loss}}\approx 218\;H^{3/2}\\ \text{W},
com H em metros (usando as densidades e g indicados acima).

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