1.30 Dada as matrizes A, B e C,
A=[cc i / 2 & -raiz3 / 2 raiz3 / 2 & -i / 2 ], B=[cc 1+i & 1-i 1-i & 1+i ], C=[ccc 1 & -i & -1+i i & 1 & 1+i 1+i & -1+i & 0 ]
Verifique se são matrizes unitárias, ou seja, uma matriz A é unitária se, somente se, A A^H=A^H A=I.

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes sobre C:
A= dfraci2 & -dfracraiz32[6pt] dfracraiz32& -dfraci2 , B= 1+i & 1-i[4pt] 1-i & 1+i , C= 1 & -i & -1+i[4pt] i & 1 & 1+i[4pt] 1+i & -1+i & 0
Queremos verificar quais são unitárias, isto é, satisfazem
M,M^H = M^H,M = I
onde M^H é a conjugada transposta de M. Basta checar, por exemplo, M,M^H=I.]

Passo 2

Verificação de A.
Primeiro encontramos
A^H=A^T = -tfraci2 & tfracraiz32[4pt] -tfracraiz32 & tfraci2
Agora calculamos A,A^H:
A,A^H = dfraci2& -dfracraiz32[4pt] dfracraiz32& -dfraci2 -dfraci2& tfracraiz32[4pt] -tfracraiz32& tfraci2
Os elementos da diagonal são
l(tfraci2r)l(-tfraci2r) +l(-tfracraiz32r)l(-tfracraiz32r) = tfrac14 + tfrac34 = 1,
e os off-diagonais são
tfraci2cdottfracraiz32 +l(-tfracraiz32r)cdottfraci2 =0
Logo A,A^H=I2, o que mostra que A é unitária.]

Passo 3

Verificação de B.
Temos
B^H = 1-i & 1+i[4pt] 1+i & 1-i
Então
B,B^H = 1+i & 1-i[4pt] 1-i & 1+i 1-i & 1+i[4pt] 1+i & 1-i = 4 & 0[4pt] 0 & 4 =4,I2neq I2
Como o produto não é a identidade, B não é unitária.]

Passo 4

Verificação de C.
Calculamos C^H tomando conjugada e depois transpondo, e em seguida o produto C,C^H. Por exemplo, o elemento (1,1) vale
|1|^2 + |-i|^2 + |-1+i|^2 =1 +1 +2=4,
enquanto o elemento (1,3)
1cdot(1-i)+(-i)cdot(-1-i)+(-1+i)cdot0=2neq0
Logo
C,C^Hneq I3,
e C também não é unitária.

Resposta

A única matriz unitária é A. As matrizes B e C não são unitárias.

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