1.30 Dada as matrizes
,
Verifique se são matrizes unitárias, ou seja, uma matriz
A é unitária se, somente se,
A A^H=A^H A=I .
Passo 1
O enunciado nos dá três matrizes sobre
C :
Queremos verificar quais são unitárias, isto é, satisfazem
onde
M^H é a conjugada transposta de
M . Basta checar, por exemplo,
M,M^H=I .]
Passo 2
Verificação de
A .
Primeiro encontramos
Primeiro encontramos
Agora calculamos
A,A^H :
Os elementos da diagonal são
e os off-diagonais são
Logo
A,A^H=I2 , o que mostra que
A é unitária.]
Passo 3
Verificação de
B .
Temos
Temos
Então
Como o produto não é a identidade,
B não é unitária.]
Passo 4
Verificação de
C .
CalculamosC^H tomando conjugada e depois transpondo, e em seguida o produto
C,C^H . Por exemplo, o elemento
(1,1) vale
Calculamos
enquanto o elemento
(1,3) dá
Logo
e
C também não é unitária.
Resposta
A única matriz unitária é
A . As matrizes
B e
C não são unitárias.