33 { }^{\text {a }} Questão

Duas ondas transversais se propagam ao longo de uma corda horizontal. Os deslocamentos verticais de cada onda na corda, medidos a partir da sua posição de equilíbrio e denominados y_{1} e y_{2}, valem \quad y_{1}=2 \cos \left(\pi x-\frac{3}{4} \pi t\right) \quad e y_{2}=2 \cos \left(\pi x+\frac{3}{4} \pi t\right), em que todos os valores são dados em unidades do SI. A velocidade do ponto localizado em x=1 m, no instante de tempo t=2 \mathrm{~s}, vale:
(A) -3 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(B) \frac{-3}{2} \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(C) 0
(D) 3 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(E) \frac{3}{2} \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado nos dá as duas ondas transversais (deslocamentos verticais medidos a partir da posição de equilíbrio):
y_{1}=2\cos\!\left(\pi x-\tfrac{3}{4}\pi t\right), \qquad y_{2}=2\cos\!\left(\pi x+\tfrac{3}{4}\pi t\right),
com todas as grandezas em unidades do SI. A pergunta é: qual é a velocidade vertical (isto é, a derivada temporal do deslocamento) do ponto localizado em x=1\\ \mathrm{m} no instante t=2\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Expressões de y_{1} e y_{2} dadas acima.
  • Queremos a velocidade vertical v=\dfrac{\partial y}{\partial t} do ponto x=1\\ \mathrm{m} em t=2\\ \mathrm{s}, onde y=y_1+y_2.

Passo 2

Primeiro vamos somar as duas funções para obter o deslocamento total y(x,t). Para simplificar a soma de cossenos, usamos a identidade trigonométrica (soma para produto):
\cos A + \cos B = 2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Aqui tome A=\pi x-\tfrac{3}{4}\pi t e B=\pi x+\tfrac{3}{4}\pi t. Calculando:
\frac{A+B}{2}=\frac{(\pi x-\tfrac{3}{4}\pi t)+(\pi x+\tfrac{3}{4}\pi t)}{2}=\pi x,
\frac{A-B}{2}=\frac{(\pi x-\tfrac{3}{4}\pi t)-(\pi x+\tfrac{3}{4}\pi t)}{2}=-\tfrac{3}{4}\pi t.
Aplicando a identidade:
y=y_{1}+y_{2}=2\cos A + 2\cos B = 4\cos\!\left(\pi x\right)\cos\!\left(-\tfrac{3}{4}\pi t\right).
Como \cos é função par, \cos(-\theta)=\cos\theta, portanto:
\boxed{y(x,t)=4\cos\!\left(\pi x\right)\cos\!\left(\tfrac{3}{4}\pi t\right).}
Comentário didático rápido: transformar a soma de cossenos em produto é útil porque separa dependência espacial ( x) da temporal ( t), facilitando a derivação em t.

Passo 3

Agora vamos obter a velocidade vertical v(x,t)=\dfrac{\partial y}{\partial t}. Usamos a regra da cadeia para derivadas: a derivada temporal de \cos(\omega t) é -\omega\sin(\omega t). Na expressão de y apenas o segundo fator depende de t, então:
\frac{\partial y}{\partial t}=4\cos\!\left(\pi x\right)\cdot\frac{d}{dt}\!\left[\cos\!\left(\tfrac{3}{4}\pi t\right)\right] =4\cos\!\left(\pi x\right)\cdot\left(-\tfrac{3}{4}\pi\right)\sin\!\left(\tfrac{3}{4}\pi t\right).
Simplificando o coeficiente:
\boxed{v(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}=-3\pi\cos\!\left(\pi x\right)\sin\!\left(\tfrac{3}{4}\pi t\right).}
Explicação didática: o fator -\tfrac{3}{4}\pi vem da derivada interna \dfrac{d}{dt}\!(\tfrac{3}{4}\pi t)=\tfrac{3}{4}\pi, e o sinal negativo da derivada de \cos dá o sinal final negativo.

Passo 4

Agora avaliamos a expressão em x=1\\ \mathrm{m} e t=2\\ \mathrm{s}. Substituímos diretamente em v(x,t):
v(1,2)=-3\pi\cos\!\left(\pi\cdot 1\right)\sin\!\left(\tfrac{3}{4}\pi\cdot 2\right).
Calculemos passo a passo os valores trigonométricos:
\cos\!\left(\pi\cdot 1\right)=\cos\!\left(\pi\right)=-1,
\tfrac{3}{4}\pi\cdot 2=\tfrac{3}{2}\pi, \qquad \sin\!\left(\tfrac{3}{2}\pi\right)=\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1.
Portanto o produto dos cosseno e seno é
\cos\!\left(\pi\right)\cdot\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=(-1)\cdot(-1)=1.

Passo 5

Substituindo esse resultado em v(1,2):
v(1,2)=-3\pi \cdot 1 = -3\pi.
A unidade é \mathrm{m/s} porque y está em metros e derivamos em relação ao tempo em segundos.

Passo 6

(Verificação alternativa, opcional mas útil na prova) Podemos também derivar y_{1} e y_{2} separadamente e somar as velocidades:
\frac{\partial y_{1}}{\partial t}=2\cdot\left(-\tfrac{3}{4}\pi\right)\sin\!\left(\pi x-\tfrac{3}{4}\pi t\right)=-\tfrac{3}{2}\pi\sin\!\left(\pi x-\tfrac{3}{4}\pi t\right),
\frac{\partial y_{2}}{\partial t}=2\cdot\left(+\tfrac{3}{4}\pi\right)\sin\!\left(\pi x+\tfrac{3}{4}\pi t\right)=\tfrac{3}{2}\pi\sin\!\left(\pi x+\tfrac{3}{4}\pi t\right).
Somando e avaliando em x=1,\\ t=2 leva ao mesmo resultado -3\pi\\ \mathrm{m/s} (experimentar esse cálculo na prova é uma boa forma de checar erros algébricos).

Resposta

(A) -3\pi\\ \mathrm{m/s}

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