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Questão
Duas ondas transversais se propagam ao longo de uma corda horizontal. Os deslocamentos verticais de cada onda na corda, medidos a partir da sua posição de equilíbrio e denominados
e
, valem
e
, em que todos os valores são dados em unidades do SI. A velocidade do ponto localizado em
, no instante de tempo
, vale:
(A)
(B)
(C) 0
(D)
(E)
(A)
(B)
(C) 0
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá as duas ondas transversais (deslocamentos verticais medidos a partir da posição de equilíbrio):
com todas as grandezas em unidades do SI. A pergunta é: qual é a velocidade vertical (isto é, a derivada temporal do deslocamento) do ponto localizado em
no instante
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Expressões de
e dadas acima. - Queremos a velocidade vertical
do ponto em , onde .
Passo 2
Primeiro vamos somar as duas funções para obter o deslocamento total
. Para simplificar a soma de cossenos, usamos a identidade trigonométrica (soma para produto):
Aqui tome
e
. Calculando:
Aplicando a identidade:
Como
é função par,
, portanto:
Comentário didático rápido: transformar a soma de cossenos em produto é útil porque separa dependência espacial (
) da temporal (
), facilitando a derivação em
.
Passo 3
Agora vamos obter a velocidade vertical
. Usamos a regra da cadeia para derivadas: a derivada temporal de
é
. Na expressão de
apenas o segundo fator depende de
, então:
Simplificando o coeficiente:
Explicação didática: o fator
vem da derivada interna
, e o sinal negativo da derivada de
dá o sinal final negativo.
Passo 4
Agora avaliamos a expressão em
e
. Substituímos diretamente em
:
Calculemos passo a passo os valores trigonométricos:
Portanto o produto dos cosseno e seno é
Passo 5
Substituindo esse resultado em
:
A unidade é
porque
está em metros e derivamos em relação ao tempo em segundos.
Passo 6
(Verificação alternativa, opcional mas útil na prova) Podemos também derivar
e
separadamente e somar as velocidades:
Somando e avaliando em
leva ao mesmo resultado
(experimentar esse cálculo na prova é uma boa forma de checar erros algébricos).
Resposta
(A)