37^{\prime \prime} Questão

Suponha uma ambulância com a sirene ligada que se aproxima de um obstáculo, de forma que a superposição entre a onda sonora emitida e o eco devido ao obstáculo produz 20 batimentos por segundo. Se a velocidade da ambulância é 36 \mathrm{~km} / h , quanto vale a frequência do som emitido pela sirene? A velocidade do som no ar vale 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(A) 330 Hz
(B) 440 Hz
(C) 550 Hz
(D) 650 Hz
(E) 730 Hz

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem fazer cálculos ainda.
  • Dados fornecidos:
    • A ambulância tem velocidade \,36\\ \mathrm{km/h}.
    • A velocidade do som no ar é \,340\\ \mathrm{m/s}.
    • A superposição entre o som emitido e o eco produz \,20 batimentos por segundo (ou seja, a frequência de batimento é \,20\\ \mathrm{Hz}).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a frequência da sirene emitida pela ambulância (ou seja, a frequência emitida \,f_0).

Passo 2

Entender o fenômeno físico envolvido (explicação didática e sem fórmulas complicadas).
  • Batimentos: quando duas ondas sonoras de frequências próximas se somam, o ouvido percebe uma variação de intensidade cuja taxa é a diferença absoluta entre as frequências. Se duas ondas têm frequências f_1 e f_2, a frequência de batimentos é
f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2|.
Aqui as duas ondas são: a onda direta emitida pela sirene (frequência \,f_0) e o eco refletido pelo obstáculo (frequência diferente, digamos \,f_{\text{eco}}). Logo os batimentos que ouvimos têm frequência |f_{\text{eco}}-f_0|.

Passo 3

Explicar como a frequência do eco é calculada (efeito Doppler com reflexão).
  • Quando a fonte (ambulância) se move em direção a um obstáculo fixo, o obstáculo “recebe” ondas com uma frequência alterada pelo efeito Doppler. Depois de refletir, o obstáculo age como uma fonte estacionária que reemite a onda com a frequência que recebeu. A ambulância (agora como observador em movimento) intercepta essa onda refletida e sofre um novo desvio Doppler. Assim, a frequência do eco sofre duas mudanças Doppler (uma por causa da fonte móvel em direção ao obstáculo, outra porque o observador está em movimento em direção à fonte refletora).
  • Fórmulas úteis e explicação das variáveis:
    • v = velocidade do som no ar.
    • v_s = velocidade da ambulância (velocidade da fonte/observador móvel).
    • f_0 = frequência emitida pela sirene (que queremos).
    • f_{\text{eco}} = frequência do som refletido que a ambulância recebe.
  • Para uma fonte móvel aproximando-se de um observador fixo, a frequência recebida pelo observador é
f_{\text{obs}} = \frac{v}{v - v_s}\,f_0.
Aqui a velocidade do ar v é positiva e v_s é positiva quando a fonte se aproxima do observador. Essa fórmula vem da conservação de frentes de onda: o movimento da fonte comprime as frentes e aumenta a frequência percebida.
  • Para um observador móvel aproximando-se de uma fonte fixa, a frequência recebida é
f_{\text{obs}} = \frac{v + v_s}{v}\,f_{\text{fonte}}.

Passo 4

Aplicar as duas fórmulas ao processo de reflexão (derivação da expressão para f_{\text{eco}}).
  • Primeiro passo (fonte móvel → obstáculo estacionário): o obstáculo “ouve” (recebe) a frequência
f'=\frac{v}{v - v_s}\,f_0.
  • Depois, o obstáculo reflete essa onda e age como uma fonte estacionária que emite com frequência f'. A ambulância (observador móvel aproximando-se dessa fonte refletora) recebe então a frequência
f_{\text{eco}}=\frac{v + v_s}{v}\,f'.
  • Substituindo f' obtemos a expressão composta
f_{\text{eco}}=\frac{v + v_s}{v}\cdot\frac{v}{v - v_s}\,f_0 = \frac{v + v_s}{v - v_s}\,f_0.

Passo 5

Relacionar a frequência do eco com a frequência emitida e escrever a fórmula dos batimentos.
  • A frequência de batimentos é a diferença entre o eco e a onda direta:
f_{\text{bat}} = f_{\text{eco}} - f_0 = \left(\frac{v + v_s}{v - v_s}-1\right)f_0.
  • Simplificando a expressão interna:
\frac{v + v_s}{v - v_s}-1=\frac{v + v_s - (v - v_s)}{v - v_s}=\frac{2v_s}{v - v_s}.
  • Portanto
f_{\text{bat}} = \frac{2v_s}{v - v_s}\,f_0.
Esta é a relação que liga a frequência de batimento medida ( f_{\text{bat}}), a velocidade da ambulância ( v_s), a velocidade do som ( v) e a frequência da sirene ( f_0).

Passo 6

Converter unidades e substituir os valores numéricos.
  • Converter a velocidade da ambulância:
36\\ \mathrm{km/h} = 36\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=10\\ \mathrm{m/s}.
Logo \,v_s=10\\ \mathrm{m/s} e \,v=340\\ \mathrm{m/s}.
  • A frequência de batimentos dada é \,f_{\text{bat}}=20\\ \mathrm{Hz}.
Substituindo na fórmula
20 = \frac{2\cdot 10}{340 - 10}\,f_0.

Passo 7

Resolver a equação para \,f_0 e calcular numericamente.
  • Primeiro calcular o fator numérico:
\frac{2\cdot 10}{340 - 10}=\frac{20}{330}=\frac{2}{33}.
  • Então
20 = \frac{2}{33}\,f_0 \quad\Rightarrow\quad f_0 = 20\cdot\frac{33}{2}=10\cdot 33=330.
  • Portanto a frequência da sirene é
f_0 = 330\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

330\\ \mathrm{Hz}

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