Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Objetivo: encontrar uma primitiva (uma função cujo derivado é o integrando) e apresentar a resposta com a constante de integração
.
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): quando vemos um produto do tipo
é muito comum usar substituição
. Aqui note que a parte
é exatamente a derivada de
, porque
Essa coincidência indica que a substituição
vai simplificar a integral. Vou usar esse método porque transforma a integral em uma potência simples de
, que é fácil de integrar com a regra das potências.
Passo 3
Faço a substituição. Defino
Derivo ambos os lados em relação a
:
Isto implica que
Assim, o diferencial
do integrando é exatamente
. Substituindo na integral original:
Passo 4
Agora aplico a regra das potências para integrais: para
,
Aqui
. Então
Dividindo por
é o mesmo que multiplicar por
, portanto
Passo 5
Volto à variável original
substituindo
:
Esse é o resultado candidato. Para ter certeza, faço uma verificação rápida derivando a primitiva encontrada (verificação pelo teorema fundamental do cálculo inverso): calculo
onde usei a regra da cadeia: derivada de
é
. Simplificando os fatores
, obtenho
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.