Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int(2 x+1) \cdot \sqrt{x^{2}+x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int(2x+1)\cdot\sqrt{x^{2}+x}\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando}:\quad (2x+1)\cdot\sqrt{x^{2}+x} = (2x+1)\,(x^{2}+x)^{1/2}.
\text{Variável de integração}:\quad x.áçã
Objetivo: encontrar uma primitiva (uma função cujo derivado é o integrando) e apresentar a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): quando vemos um produto do tipo (\text{derivada de }f(x))\cdot (f(x))^{\alpha} é muito comum usar substituição u=f(x). Aqui note que a parte (2x+1) é exatamente a derivada de x^{2}+x, porque
\frac{d}{dx}\big(x^{2}+x\big)=2x+1.
Essa coincidência indica que a substituição u=x^{2}+x vai simplificar a integral. Vou usar esse método porque transforma a integral em uma potência simples de u, que é fácil de integrar com a regra das potências.

Passo 3

Faço a substituição. Defino
u = x^{2}+x.
Derivo ambos os lados em relação a x:
\frac{du}{dx}=2x+1.
Isto implica que
du=(2x+1)\,dx.
Assim, o diferencial (2x+1)\,dx do integrando é exatamente du. Substituindo na integral original:
\int(2x+1)\,(x^{2}+x)^{1/2}\,dx = \int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora aplico a regra das potências para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+C = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C.
Dividindo por 3/2 é o mesmo que multiplicar por 2/3, portanto
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}\,u^{3/2}+C.

Passo 5

Volto à variável original x substituindo u=x^{2}+x:
\frac{2}{3}\,u^{3/2}+C = \frac{2}{3}\,(x^{2}+x)^{3/2}+C.
Esse é o resultado candidato. Para ter certeza, faço uma verificação rápida derivando a primitiva encontrada (verificação pelo teorema fundamental do cálculo inverso): calculo
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}(x^{2}+x)^{3/2}\right) = \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}(x^{2}+x)^{1/2}\cdot(2x+1),
onde usei a regra da cadeia: derivada de (x^{2}+x)^{3/2} é \tfrac{3}{2}(x^{2}+x)^{1/2}\cdot(2x+1). Simplificando os fatores \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{2}=1, obtenho
(2x+1)(x^{2}+x)^{1/2},
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\frac{2}{3}(x^{2}+x)^{3/2}+C

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