35 { }^{\text {a }} Questão Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio N no solo é
Y=\frac{N}{a+N^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a relação entre produção e nitrogênio
Y=\frac{N}{a+N^{2}}
Informações que temos (diretamente do enunciado): \,Y é a produção, \,N é o nível de nitrogênio e \,a é um parâmetro presente no denominador. As perguntas implícitas que vou responder (as mais comuns para este tipo de função): qual valor de \,N maximiza \,Y (considerando níveis fisicamente plausíveis de nitrogênio) e qual é o valor máximo de \,Y. Vou considerar que \,a>0 (caso contrário o comportamento muda e requereria comentário separado) e que fisicamente \,N\ge 0.

Passo 2

Definir o domínio e comportamento nas bordas. O denominador é a+N^{2}. Se a>0, então a+N^{2}>0 para todo N, logo a função está bem definida para todo N. Como N representa nitrogênio, faz sentido restringir a análise a N\ge 0. Verifico também rapidamente o comportamento nas bordas: em N=0 temos
Y(0)=\frac{0}{a+0}=0,
e quando N\to\infty,
Y\sim\frac{N}{N^{2}}=\frac{1}{N}\to 0.
Ou seja, em 0 e em infinito a produção tende a 0, então é plausível existir um máximo interno N>0.

Passo 3

Encontrar candidatos a extremos: calculo a derivada \frac{dY}{dN} e procuro pontos críticos. Vou aplicar a regra do quociente: se Y=\dfrac{f(N)}{g(N)} então
\frac{dY}{dN}=\frac{f'(N)g(N)-f(N)g'(N)}{[g(N)]^{2}}.
Aqui f(N)=N e g(N)=a+N^{2}. Então f'(N)=1 e g'(N)=2N. Substituo:
\frac{dY}{dN}=\frac{1\cdot (a+N^{2})-N\cdot (2N)}{(a+N^{2})^{2}}=\frac{a+N^{2}-2N^{2}}{(a+N^{2})^{2}}=\frac{a-N^{2}}{(a+N^{2})^{2}}.

Passo 4

Determinar pontos críticos: pontos críticos ocorrem quando \dfrac{dY}{dN}=0 ou derivada indefinida. O denominador (a+N^{2})^{2} nunca é zero se a>0, então zeramos o numerador:
a-N^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad N^{2}=a \quad\Rightarrow\quad N=\pm\sqrt{a}.
Como eu disse que vou analisar N\ge 0, o candidato relevante é
N=\sqrt{a}.

Passo 5

Determinar se é máximo ou mínimo: em vez de calcular a segunda derivada completa (que pode ficar trabalhosa), uso o teste de sinal da primeira derivada (mais simples e seguro em provas). Observe o sinal de \dfrac{dY}{dN}=\dfrac{a-N^{2}}{(a+N^{2})^{2}}:
  • Para 0\le N<\sqrt{a} temos N^{2}<a\Rightarrow a-N^{2}>0, logo \dfrac{dY}{dN}>0 (função crescente).
  • Para N>\sqrt{a} temos N^{2}>a\Rightarrow a-N^{2}<0, logo \dfrac{dY}{dN}<0 (função decrescente).
    Portanto a derivada muda de positiva para negativa em N=\sqrt{a}, o que caracteriza um máximo local. Como os valores nas bordas (em 0 e em \infty) são menores que o valor em N=\sqrt{a}, esse máximo é também o máximo global para N\ge 0.

Passo 6

Calcular o valor máximo da produção substituindo N=\sqrt{a} em Y:
Y\!\left(\sqrt{a}\right)=\frac{\sqrt{a}}{a+(\sqrt{a})^{2}}=\frac{\sqrt{a}}{a+a}=\frac{\sqrt{a}}{2a}.
Simplificando \frac{\sqrt{a}}{2a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}. Portanto o valor máximo da produção é
Y_{\max}=\frac{1}{2\sqrt{a}}.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (útil na prova): o nível ótimo de nitrogênio é N=\sqrt{a}. Para níveis menores que isso, adicionar nitrogênio aumenta a produção (derivada positiva). Para níveis maiores, adicionar nitrogênio reduz a produção (derivada negativa) — excesso de nitrogênio prejudica a eficiência. O máximo decresce quando a cresce: quanto maior a, menor Y_{\max}, e o N ótimo aumenta com a (porque N^{*}=\sqrt{a}).

Resposta

N=\sqrt{a}\n Y_{\max}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}

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