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Questão Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio N no solo é
Passo 1
O enunciado nos dá a relação entre produção e nitrogênio
Informações que temos (diretamente do enunciado):
é a produção,
é o nível de nitrogênio e
é um parâmetro presente no denominador. As perguntas implícitas que vou responder (as mais comuns para este tipo de função): qual valor de
maximiza
(considerando níveis fisicamente plausíveis de nitrogênio) e qual é o valor máximo de
. Vou considerar que
(caso contrário o comportamento muda e requereria comentário separado) e que fisicamente
.
Passo 2
Definir o domínio e comportamento nas bordas. O denominador é
. Se
, então
para todo
, logo a função está bem definida para todo
. Como
representa nitrogênio, faz sentido restringir a análise a
. Verifico também rapidamente o comportamento nas bordas: em
temos
e quando
,
Ou seja, em
e em infinito a produção tende a
, então é plausível existir um máximo interno
.
Passo 3
Encontrar candidatos a extremos: calculo a derivada
e procuro pontos críticos. Vou aplicar a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Então
e
. Substituo:
Passo 4
Determinar pontos críticos: pontos críticos ocorrem quando
ou derivada indefinida. O denominador
nunca é zero se
, então zeramos o numerador:
Como eu disse que vou analisar
, o candidato relevante é
Passo 5
Determinar se é máximo ou mínimo: em vez de calcular a segunda derivada completa (que pode ficar trabalhosa), uso o teste de sinal da primeira derivada (mais simples e seguro em provas). Observe o sinal de
:
- Para
temos , logo (função crescente). - Para
temos , logo (função decrescente).
Portanto a derivada muda de positiva para negativa em, o que caracteriza um máximo local. Como os valores nas bordas (em e em ) são menores que o valor em , esse máximo é também o máximo global para .
Passo 6
Calcular o valor máximo da produção substituindo
em
:
Simplificando
. Portanto o valor máximo da produção é
Passo 7
Resumo interpretativo rápido (útil na prova): o nível ótimo de nitrogênio é
. Para níveis menores que isso, adicionar nitrogênio aumenta a produção (derivada positiva). Para níveis maiores, adicionar nitrogênio reduz a produção (derivada negativa) — excesso de nitrogênio prejudica a eficiência. O máximo decresce quando
cresce: quanto maior
, menor
, e o
ótimo aumenta com
(porque
).