9-37C What is significant about curves of constant stream function? Explain why the stream function is useful in fluid mechanics.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- O que é significativo sobre as curvas de função de corrente constante (ou seja, as curvas
constante). - Por que a função de corrente é útil em mecânica dos fluidos.
Não há outros dados numéricos; o objetivo é dar uma explicação conceitual e matemática mostrando propriedades e por que essas curvas são importantes.
Passo 2
Definição e notação (o que vamos usar).
- Considere um escoamento bidimensional incompressível com velocidades
na direção e na direção . - Define-se a função de corrente
por
Explique o significado de cada símbolo:
-
é um campo escalar (um número para cada ponto). -
e são as componentes de velocidade do fluido.
Esta definição é uma escolha conveniente: agora vamos ver por que ela é útil.
Passo 3
A função de corrente garante a conservação da massa (continuidade) automaticamente.
- A equação de continuidade para escoamento incompressível 2D é
- Substituindo
e (uso de notação , ):
pois derivadas mistas contínuas comutam (
). Conclusão: qualquer
diferenciável definida pelas fórmulas acima já produz um campo de velocidades que satisfaz a continuidade. Isso evita ter que impor diretamente a equação de continuidade.
Passo 4
Prova de que as curvas
constante são linhas de corrente (streamlines).
- Uma curva de nível de
satisfaz . Expandindo o diferencial,
- Usando
e , obtemos
- A razão
do traço da curva é exatamente a inclinação do vetor velocidade . Portanto a curva é tangente ao vetor velocidade em cada ponto: isso é precisamente a definição de uma linha de corrente. Conclusão: curvas constante são streamlines.
Passo 5
Interpretação física: diferença de
entre duas curvas é vazão entre elas.
- Primeiro, calcule o diferencial de
:
- Agora escolha qualquer curva
que conecte um ponto a um ponto . A vazão volumétrica (por unidade de profundidade, em escoamento 2D) que atravessa essa curva no sentido normal é
onde
é o versor normal ao contorno e
o comprimento de arco. Uma propriedade geométrica é que, ao percorrer a curva, o vetor normal não normalizado multiplicado por
é
. Assim
- Portanto
Isto mostra que a diferença de valores de
entre duas curvas de nível é exatamente a vazão (por unidade de comprimento na terceira direção) entre essas duas curvas. Resultado útil e intuitivo: linhas
constante delimitam “canaletas” de fluxo; a diferença
é o fluxo que passa entre elas.
Passo 6
Relação com vorticidade (útil em teoria e em solução de problemas).
- A componente de vorticidade perpendicular ao plano (z) é
- Substituindo
e dá
- Rearranjando:
Isto significa que, se a vorticidade
é conhecida, a função de corrente satisfaz uma equação de Poisson. Em particular, para escoamentos irrotacionais (onde
) temos
:
é função harmônica. Isso torna a análise matemática mais direta (resolver uma equação escalar).
Passo 7
Exemplos simples para fixar (muito práticos na prova).
- Fluxo uniforme para a direita com velocidade
: uma antiderivada é
As linhas
constante são retas horizontais
constante, ou seja, as streamlines esperadas.
- Cisalhamento simples
: então
As curvas
constante são parábolas em
, consistentes com o perfil de velocidade.
- Vórtice pontual (em coordenadas polares
) com circulação : a velocidade tangencial é . Integrando para obtém-se (até constante)
As linhas
constante são círculos concêntricos — isso corresponde à circulação ao redor do núcleo. Esses exemplos mostram como
gera imediatamente as linhas de corrente e facilita visualização.
Passo 8
Resumo prático: por que a função de corrente é útil em exercícios e provas (lista enxuta e aplicada).
- Garante automaticamente a continuidade (
), então não é preciso checar essa equação separadamente. - Curvas
constante são streamlines, então plotar dá o formato do escoamento. - A diferença
entre duas curvas dá a vazão entre elas (fluxo por unidade de profundidade), o que facilita cálculos de vazão sem integrar a velocidade ponto a ponto. - Relaciona-se diretamente com a vorticidade por
, transformando certos problemas numéricos/analíticos em resolver uma equação escalar (Poisson ou Laplace). - Em escoamentos irrotacionais pode-se associar
a uma potencial de velocidade e usar ferramentas de funções analíticas (complex potential), muito útil em soluções por mapeamentos conformes. - Em condições de contorno, superfícies sólidas sem penetração são curvas de corrente (portanto
constante), o que dá uma condição de contorno simples para .
Resposta
As curvas
constante são linhas de corrente (streamlines): em cada ponto a tangente da curva coincide com o vetor velocidade.
A função de corrente é útil porque assegura a continuidade automaticamente, a diferença entre duas linhas de corrente é a vazão entre elas, ela se relaciona com a vorticidade por
(transformando muitos problemas em resolver uma equação escalar) e facilita tanto a visualização do escoamento quanto a imposição de condições de contorno (paredes são
constante).
A função de corrente é útil porque assegura a continuidade automaticamente, a diferença