9-37C What is significant about curves of constant stream function? Explain why the stream function is useful in fluid mechanics.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • O que é significativo sobre as curvas de função de corrente constante (ou seja, as curvas \psi= constante).
  • Por que a função de corrente é útil em mecânica dos fluidos.
Não há outros dados numéricos; o objetivo é dar uma explicação conceitual e matemática mostrando propriedades e por que essas curvas são importantes.

Passo 2

Definição e notação (o que vamos usar).
  • Considere um escoamento bidimensional incompressível com velocidades u(x,y) na direção x e v(x,y) na direção y.
  • Define-se a função de corrente \psi(x,y) por
u = \frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Explique o significado de cada símbolo:
  • \psi(x,y) é um campo escalar (um número para cada ponto).
  • u e v são as componentes de velocidade do fluido.
    Esta definição é uma escolha conveniente: agora vamos ver por que ela é útil.

Passo 3

A função de corrente garante a conservação da massa (continuidade) automaticamente.
  • A equação de continuidade para escoamento incompressível 2D é
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
  • Substituindo u=\psi_y e v=-\psi_x (uso de notação \psi_y=\partial\psi/\partial y, \psi_x=\partial\psi/\partial x):
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(\psi_y) + \frac{\partial}{\partial y}(-\psi_x) = \psi_{yx} - \psi_{xy} = 0,
pois derivadas mistas contínuas comutam ( \psi_{yx}=\psi_{xy}). Conclusão: qualquer \psi diferenciável definida pelas fórmulas acima já produz um campo de velocidades que satisfaz a continuidade. Isso evita ter que impor diretamente a equação de continuidade.

Passo 4

Prova de que as curvas \psi= constante são linhas de corrente (streamlines).
  • Uma curva de nível de \psi satisfaz d\psi=0. Expandindo o diferencial,
d\psi = \psi_x\,dx + \psi_y\,dy = 0.
  • Usando \psi_x=-v e \psi_y=u, obtemos
-v\,dx + u\,dy = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}.
  • A razão dy/dx do traço da curva é exatamente a inclinação do vetor velocidade (u,v). Portanto a curva é tangente ao vetor velocidade em cada ponto: isso é precisamente a definição de uma linha de corrente. Conclusão: curvas \psi= constante são streamlines.

Passo 5

Interpretação física: diferença de \psi entre duas curvas é vazão entre elas.
  • Primeiro, calcule o diferencial de \psi:
d\psi = \psi_x\,dx + \psi_y\,dy = -v\,dx + u\,dy.
  • Agora escolha qualquer curva C que conecte um ponto A a um ponto B. A vazão volumétrica (por unidade de profundidade, em escoamento 2D) que atravessa essa curva no sentido normal é
Q_{AB} = \int_C (u n_x + v n_y)\,ds,
onde (n_x,n_y) é o versor normal ao contorno e ds o comprimento de arco. Uma propriedade geométrica é que, ao percorrer a curva, o vetor normal não normalizado multiplicado por ds é (dy,-dx). Assim
u\,dy - v\,dx = u n_x\,ds + v n_y\,ds.
  • Portanto
\int_C (u n_x + v n_y)\,ds = \int_C (u\,dy - v\,dx) = \int_C d\psi = \psi(B)-\psi(A).
Isto mostra que a diferença de valores de \psi entre duas curvas de nível é exatamente a vazão (por unidade de comprimento na terceira direção) entre essas duas curvas. Resultado útil e intuitivo: linhas \psi= constante delimitam “canaletas” de fluxo; a diferença \Delta\psi é o fluxo que passa entre elas.

Passo 6

Relação com vorticidade (útil em teoria e em solução de problemas).
  • A componente de vorticidade perpendicular ao plano (z) é
\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
  • Substituindo u=\psi_y e v=-\psi_x
\omega_z = -\psi_{xx} - \psi_{yy} = -\nabla^2 \psi.
  • Rearranjando:
\nabla^2 \psi = -\omega_z.
Isto significa que, se a vorticidade \omega_z(x,y) é conhecida, a função de corrente satisfaz uma equação de Poisson. Em particular, para escoamentos irrotacionais (onde \omega_z=0) temos \nabla^2\psi=0: \psi é função harmônica. Isso torna a análise matemática mais direta (resolver uma equação escalar).

Passo 7

Exemplos simples para fixar (muito práticos na prova).
  • Fluxo uniforme para a direita com velocidade \,u=U\,,\;v=0: uma antiderivada é
\psi = U y.
As linhas \psi= constante são retas horizontais y= constante, ou seja, as streamlines esperadas.
  • Cisalhamento simples \,u = a y\,,\;v=0: então
\psi = \tfrac{a}{2} y^2.
As curvas \psi= constante são parábolas em y, consistentes com o perfil de velocidade.
  • Vórtice pontual (em coordenadas polares (r,\theta)) com circulação \Gamma: a velocidade tangencial é u_\theta=\Gamma/(2\pi r). Integrando para \psi(r) obtém-se (até constante)
\psi = -\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r.
As linhas \psi= constante são círculos concêntricos — isso corresponde à circulação ao redor do núcleo. Esses exemplos mostram como \psi gera imediatamente as linhas de corrente e facilita visualização.

Passo 8

Resumo prático: por que a função de corrente é útil em exercícios e provas (lista enxuta e aplicada).
  • Garante automaticamente a continuidade ( \nabla\cdot\mathbf{u}=0), então não é preciso checar essa equação separadamente.
  • Curvas \psi= constante são streamlines, então plotar \psi dá o formato do escoamento.
  • A diferença \Delta\psi entre duas curvas dá a vazão entre elas (fluxo por unidade de profundidade), o que facilita cálculos de vazão sem integrar a velocidade ponto a ponto.
  • Relaciona-se diretamente com a vorticidade por \nabla^2\psi=-\omega_z, transformando certos problemas numéricos/analíticos em resolver uma equação escalar (Poisson ou Laplace).
  • Em escoamentos irrotacionais pode-se associar \psi a uma potencial de velocidade e usar ferramentas de funções analíticas (complex potential), muito útil em soluções por mapeamentos conformes.
  • Em condições de contorno, superfícies sólidas sem penetração são curvas de corrente (portanto \psi constante), o que dá uma condição de contorno simples para \psi.

Resposta

As curvas \psi= constante são linhas de corrente (streamlines): em cada ponto a tangente da curva coincide com o vetor velocidade.
A função de corrente é útil porque assegura a continuidade automaticamente, a diferença \Delta\psi entre duas linhas de corrente é a vazão entre elas, ela se relaciona com a vorticidade por \nabla^2\psi=-\omega_z (transformando muitos problemas em resolver uma equação escalar) e facilita tanto a visualização do escoamento quanto a imposição de condições de contorno (paredes são \psi= constante).

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