8.28 Dado \mathbf{H}=\left(3 r^{2} / \operatorname{sen} \theta\right) \mathbf{a}_{g}+54 r \cos \theta \mathbf{a}_{b} \mathrm{~A} / \mathrm{m} no espaço livre: ( a ) determine a corrente total na direção \mathrm{a}_{2} através da superfície cônica \theta=20^{\circ}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq 5 pelo lado do teorema de Stokes que você julgar melhor. (b) Verifique o resultado usando o outro lado do teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético (no espaço livre)
\mathbf{H}=\left(\frac{3\,r^{2}}{\operatorname{sen}\theta}\right)\mathbf{a}_{g}+54\,r\cos\theta\,\mathbf{a}_{b}\\ \text{A/m}
e pede: (a) determinar a corrente total na direção \mathbf{a}_{2} através da superfície cônica \theta=20^\circ,\;0\le\varphi\le2\pi,\;0\le r\le5 usando o lado do teorema de Stokes que eu julgar melhor; (b) verificar o resultado usando o outro lado do teorema de Stokes.
Informações relevantes que extraí do enunciado (assunções feitas porque os rótulos das bases não estavam padrão, e o enunciado foi considerado adequadamente formulado):
  • Interpreto \mathbf{a}_{g}=\mathbf{a}_{r} (componente radial) e \mathbf{a}_{b}=\mathbf{a}_{\varphi} (componente azimutal). Assim tomo H_{r}=\frac{3\,r^{2}}{\operatorname{sen}\theta},\qquad H_{\theta}=0,\qquad H_{\varphi}=54\,r\cos\theta.
  • Interpreto \mathbf{a}_{2}=\mathbf{a}_{\theta} (a direção normal natural à superfície \theta= constante).
  • A superfície é a casca cônica parametrizada por r e \varphi com \theta fixo.
    Não resolvo nada aqui; só listei os dados, as variáveis e as suposições que vou usar.

Passo 2

Breve revisão das ferramentas que vamos usar (explicação didática e passo a passo do que cada fórmula significa):
  1. Teorema de Stokes aplicado ao campo \mathbf{H} (equivalente à forma integral da lei de Ampère sem termo de deslocamento, em regime estacionário):
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S}=\oint_{\partial S}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}.
  • S é a superfície (a casca cônica), \partial S é seu contorno (a curva fechada ânulo em \varphi no extremo r=5).
  • d\mathbf{S}=\mathbf{\hat n}\,dS é o vetor área orientado (magnitude dS, direção \mathbf{\hat n}).
  • d\mathbf{l} é o elemento de linha ao longo da fronteira, orientado conforme a regra da mão direita relativa à \mathbf{\hat n}.
  1. Fórmulas em coordenadas esféricas (úteis aqui). Para um campo
\mathbf{H}=H_{r}\,\mathbf{a}_{r}+H_{\theta}\,\mathbf{a}_{\theta}+H_{\varphi}\,\mathbf{a}_{\varphi},
o componente \theta do rotacional é (fórmula padrão em esféricas):
(\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial H_{r}}{\partial \varphi}-\frac{\partial}{\partial r}(r H_{\varphi})\right).
Expliquei cada termo: \partial H_{r}/\partial\varphi é variação azimutal da componente radial; \partial/\partial r (r H_{\varphi}) é a variação radial da componente azimutal vezes r. A divisão por r e por \operatorname{sen}\theta vem da geometria das coordenadas esféricas.
  1. Elemento de superfície para \theta= constante (a casca cônica) parametrizada por (r,\varphi): a posição é \mathbf{R}(r,\varphi)=r\,\mathbf{a}_{r}(\theta,\varphi) com \theta fixo. Então
dS = r\operatorname{sen}\theta\,dr\,d\varphi,
e o vetor área orientado obtido pelo produto vetorial \partial\mathbf{R}/\partial r\times\partial\mathbf{R}/\partial\varphi
d\mathbf{S} = -\,\mathbf{a}_{\theta}\,r\operatorname{sen}\theta\,dr\,d\varphi,
quando os parâmetros são tomados na ordem (r,\varphi). Aqui é importante: o sinal (menos) indica que a orientação natural dada por (r,\varphi) gera d\mathbf{S} na direção -\mathbf{a}_{\theta}. Essa escolha de orientação determina o sentido positivo do contorno \partial S pelo sentido horário/anti-horário via a regra da mão direita. Vamos usar isso para garantir consistência entre os dois lados do teorema.
  1. Elemento de linha para a curva de contorno (curva em r=5,\\ \theta= constante, \varphi varia):
d\mathbf{l} = r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}\quad\text{(com \(r\) e \(\theta\) constantes)}.
Essas são as ferramentas que usaremos, com explicação de cada peça para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Escolha do lado mais simples do teorema de Stokes (parte (a)): a integral de linha ao longo da curva fechada é muito direta porque o campo tem só componente \varphi além da radial. Vou fazer (a) usando a integral de linha:
  • Contorno \partial S: curva fechada em r=5,\\ \theta=20^\circ,\\\ 0\le\varphi\le2\pi.
  • Em \partial S temos H_{\varphi}=54\,r\cos\theta. No contorno r=5, logo H_{\varphi}\big|_{r=5}=54\cdot 5\cdot\cos\theta=270\cos\theta.
  • O elemento de linha (veja Passo 2) é d\mathbf{l}=r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}=5\operatorname{sen}\theta\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}.
  • Portanto o produto escalar que aparece na integral de contorno é \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=H_{\varphi}\, (r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi)=270\cos\theta\cdot 5\operatorname{sen}\theta\,d\varphi=1350\cos\theta\operatorname{sen}\theta\,d\varphi.
  • Integrando \varphi de 0 a 2\pi: I_{\text{(pela linha)}}=\oint_{\partial S}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\int_{0}^{2\pi}1350\cos\theta\operatorname{sen}\theta\,d\varphi =1350\cos\theta\operatorname{sen}\theta\cdot 2\pi=2700\pi\cos\theta\operatorname{sen}\theta.
  • Substituindo \theta=20^\circ obtém-se a expressão final e o valor numérico: I_{\text{(a)}}=2700\pi\cos20^\circ\sen20^\circ\\ \text{A}\approx 2726{,}20\\ \text{A}.
Isto é a corrente total que atravessa a superfície numa direção compatível com a orientação escolhida para o contorno (detalharemos a consistência no próximo passo).

Passo 4

Agora faço a verificação (parte (b)) usando o outro lado do teorema de Stokes: a integral de superfície do rotacional \nabla\times\mathbf{H}.
  1. Primeiro calculemos o componente \theta do rotacional usando a fórmula do Passo 2:
(\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\operatorname{sen}\theta}\frac{\partial H_{r}}{\partial \varphi}-\frac{\partial}{\partial r}(r H_{\varphi})\right).
No nosso caso H_{r}=\dfrac{3r^{2}}{\operatorname{sen}\theta} não depende de \varphi, logo \partial H_{r}/\partial\varphi=0. E H_{\varphi}=54\,r\cos\theta. Então
rH_{\varphi}=r\cdot 54\,r\cos\theta=54\,r^{2}\cos\theta,
\frac{\partial}{\partial r}(r H_{\varphi})=\frac{\partial}{\partial r}(54\,r^{2}\cos\theta)=108\,r\cos\theta.
Assim
(\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}=\frac{1}{r}\left(0-108\,r\cos\theta\right)=-108\cos\theta.
  1. Agora a integral de superfície orientada: lembre-se do vetor área obtido no Passo 2,
d\mathbf{S}=-\mathbf{a}_{\theta}\,r\operatorname{sen}\theta\,dr\,d\varphi.
Portanto
(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} = (\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}\,(-1)\,r\operatorname{sen}\theta\,dr\,d\varphi = -(\,-108\cos\theta)\,r\operatorname{sen}\theta\,dr\,d\varphi = 108\cos\theta\,r\operatorname{sen}\theta\,dr\,d\varphi.
Observe que o sinal menos do vetor área compensou o sinal do componente (\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}=-108\cos\theta, de modo que o integrando ficou positivo, como deve ser consistente com a integral de linha que fizemos no Passo 3 (orientações compatíveis).
  1. Integramos sobre r\in[0,5] e \varphi\in[0,2\pi]:
I_{\text{(pela superfície)}}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} =108\cos\theta\operatorname{sen}\theta\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\,dr\,d\varphi.í
Calcule a parte radial:
\int_{0}^{5} r\,dr=\frac{5^{2}}{2}=\frac{25}{2}, \qquad \int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
Logo
I_{\text{(pela superfície)}}=108\cos\theta\operatorname{sen}\theta\cdot \frac{25}{2}\cdot 2\pi =108\cdot 25\pi\cos\theta\operatorname{sen}\theta=2700\pi\cos\theta\operatorname{sen}\theta.í
Substituindo \theta=20^\circ dá o mesmo resultado numérico:
I_{\text{(b)}}=2700\pi\cos20^\circ\sen20^\circ\\ \text{A}\approx 2726{,}20\\ \text{A}.

Passo 5

Comentários finais e interpretação (motivação para prova):
  • Na prática para essa superfície a integral de linha foi muito mais direta: basta pegar a componente \varphi de \mathbf{H} no contorno e multiplicar pelo comprimento elemento r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi.
  • Se optar pelo lado do rotacional é preciso lembrar das fórmulas de rotacional em esféricas (preste atenção nos fatores r e \operatorname{sen}\theta) e também ser cuidadoso com a orientação do vetor área. Eu mostrei como o sinal se ajusta para garantir que os dois lados deem o mesmo resultado.
  • Resultado final em forma simbólica e numérica abaixo.

Resposta

(a) I=2700\pi\cos20^\circ\sen20^\circ\\ \mathrm{A}\approx 2726{,}20\\ \mathrm{A} na direção \mathbf{a}_{2}.\n(b) I=2700\pi\cos20^\circ\sen20^\circ\\ \mathrm{A}\approx 2726{,}20\\ \mathrm{A} (verificação pelo outro lado do Teorema de Stokes).

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