8.28 Dado \mathbf{H}=\left(3 r^{2} / \operatorname{sen} \theta\right) \mathbf{a}_{g}+54 r \cos \theta \mathbf{a}_{b} \mathrm{~A} / \mathrm{m} no espaço livre: ( a ) determine a corrente total na direção \mathrm{a}_{2} através da superfície cônica \theta=20^{\circ}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq 5 pelo lado do teorema de Stokes que você julgar melhor. (b) Verifique o resultado usando o outro lado do teorema de Stokes.
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético (no espaço livre)
e pede: (a) determinar a corrente total na direção \mathbf{a}_{2} através da superfície cônica \theta=20^\circ,\;0\le\varphi\le2\pi,\;0\le r\le5 usando o lado do teorema de Stokes que eu julgar melhor; (b) verificar o resultado usando o outro lado do teorema de Stokes.
Informações relevantes que extraí do enunciado (assunções feitas porque os rótulos das bases não estavam padrão, e o enunciado foi considerado adequadamente formulado):
Interpreto \mathbf{a}_{g}=\mathbf{a}_{r} (componente radial) e \mathbf{a}_{b}=\mathbf{a}_{\varphi} (componente azimutal). Assim tomoH_{r}=\frac{3\,r^{2}}{\operatorname{sen}\theta},\qquad H_{\theta}=0,\qquad H_{\varphi}=54\,r\cos\theta.
Interpreto \mathbf{a}_{2}=\mathbf{a}_{\theta} (a direção normal natural à superfície \theta= constante).
A superfície é a casca cônica parametrizada por r e \varphi com \theta fixo.
Não resolvo nada aqui; só listei os dados, as variáveis e as suposições que vou usar.
Passo 2
Breve revisão das ferramentas que vamos usar (explicação didática e passo a passo do que cada fórmula significa):
Teorema de Stokes aplicado ao campo \mathbf{H} (equivalente à forma integral da lei de Ampère sem termo de deslocamento, em regime estacionário):
Expliquei cada termo: \partial H_{r}/\partial\varphi é variação azimutal da componente radial; \partial/\partial r (r H_{\varphi}) é a variação radial da componente azimutal vezes r. A divisão por r e por \operatorname{sen}\theta vem da geometria das coordenadas esféricas.
Elemento de superfície para \theta= constante (a casca cônica) parametrizada por (r,\varphi): a posição é \mathbf{R}(r,\varphi)=r\,\mathbf{a}_{r}(\theta,\varphi) com \theta fixo. Então
dS = r\operatorname{sen}\theta\,dr\,d\varphi,
e o vetor área orientado obtido pelo produto vetorial \partial\mathbf{R}/\partial r\times\partial\mathbf{R}/\partial\varphi dá
quando os parâmetros são tomados na ordem (r,\varphi). Aqui é importante: o sinal (menos) indica que a orientação natural dada por (r,\varphi) gera d\mathbf{S} na direção -\mathbf{a}_{\theta}. Essa escolha de orientação determina o sentido positivo do contorno \partial S pelo sentido horário/anti-horário via a regra da mão direita. Vamos usar isso para garantir consistência entre os dois lados do teorema.
Elemento de linha para a curva de contorno (curva em r=5,\\ \theta= constante, \varphi varia):
d\mathbf{l} = r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}\quad\text{(com \(r\) e \(\theta\) constantes)}.
Essas são as ferramentas que usaremos, com explicação de cada peça para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Escolha do lado mais simples do teorema de Stokes (parte (a)): a integral de linha ao longo da curva fechada é muito direta porque o campo tem só componente \varphi além da radial. Vou fazer (a) usando a integral de linha:
Contorno \partial S: curva fechada em r=5,\\ \theta=20^\circ,\\\ 0\le\varphi\le2\pi.
Em \partial S temos H_{\varphi}=54\,r\cos\theta. No contorno r=5, logoH_{\varphi}\big|_{r=5}=54\cdot 5\cdot\cos\theta=270\cos\theta.
O elemento de linha (veja Passo 2) é d\mathbf{l}=r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}=5\operatorname{sen}\theta\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}.
Portanto o produto escalar que aparece na integral de contorno é\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=H_{\varphi}\, (r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi)=270\cos\theta\cdot 5\operatorname{sen}\theta\,d\varphi=1350\cos\theta\operatorname{sen}\theta\,d\varphi.
Integrando \varphi de 0 a 2\pi:I_{\text{(pela linha)}}=\oint_{\partial S}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\int_{0}^{2\pi}1350\cos\theta\operatorname{sen}\theta\,d\varphi =1350\cos\theta\operatorname{sen}\theta\cdot 2\pi=2700\pi\cos\theta\operatorname{sen}\theta.
Substituindo \theta=20^\circ obtém-se a expressão final e o valor numérico:I_{\text{(a)}}=2700\pi\cos20^\circ\sen20^\circ\\ \text{A}\approx 2726{,}20\\ \text{A}.
Isto é a corrente total que atravessa a superfície numa direção compatível com a orientação escolhida para o contorno (detalharemos a consistência no próximo passo).
Passo 4
Agora faço a verificação (parte (b)) usando o outro lado do teorema de Stokes: a integral de superfície do rotacional \nabla\times\mathbf{H}.
Primeiro calculemos o componente \theta do rotacional usando a fórmula do Passo 2:
No nosso caso H_{r}=\dfrac{3r^{2}}{\operatorname{sen}\theta} não depende de \varphi, logo \partial H_{r}/\partial\varphi=0. E H_{\varphi}=54\,r\cos\theta. Então
Observe que o sinal menos do vetor área compensou o sinal do componente (\nabla\times\mathbf{H})_{\theta}=-108\cos\theta, de modo que o integrando ficou positivo, como deve ser consistente com a integral de linha que fizemos no Passo 3 (orientações compatíveis).
Comentários finais e interpretação (motivação para prova):
Na prática para essa superfície a integral de linha foi muito mais direta: basta pegar a componente \varphi de \mathbf{H} no contorno e multiplicar pelo comprimento elemento r\operatorname{sen}\theta\,d\varphi.
Se optar pelo lado do rotacional é preciso lembrar das fórmulas de rotacional em esféricas (preste atenção nos fatores r e \operatorname{sen}\theta) e também ser cuidadoso com a orientação do vetor área. Eu mostrei como o sinal se ajusta para garantir que os dois lados deem o mesmo resultado.
Resultado final em forma simbólica e numérica abaixo.
Resposta
(a) I=2700\pi\cos20^\circ\sen20^\circ\\ \mathrm{A}\approx 2726{,}20\\ \mathrm{A} na direção \mathbf{a}_{2}.\n(b) I=2700\pi\cos20^\circ\sen20^\circ\\ \mathrm{A}\approx 2726{,}20\\ \mathrm{A} (verificação pelo outro lado do Teorema de Stokes).