8.41 Suponha que \mathrm{A}=50 \rho^{2} \mathrm{a}{2}, \mathrm{~Wb} / \mathrm{m} em uma certa região do espaço livre. (a) Determine H e B. (b) Determine J. (c) Use J para determinar a corrente total que cruza a superficie 0 \leq \rho \leq 1,0 \leq \varphi \leq 2 \pi, z=0. (d) Useo valor de H{b} \mathrm{em} \rho=1 para calcular \oint \mathbf{H} \cdot d \mathbf{L} para \rho= 1, z=0.
Passo 1
O enunciado dá o potencial vetor magnético numa região do espaço livre e pede várias grandezas. Dados e perguntas (escritos de forma clara):
- Dado: o potencial vetor magnético é
Aqui
é a coordenada radial cilíndrica e
é o versor na direção azimutal.
- Pedidos:
(a) Determinare .
(b) Determinar a densidade de corrente.
(c) Usarpara determinar a corrente total que cruza a superfície dada por .
(d) Usar o valor deem para calcular ao redor do círculo .
Passo 2
Conceito e fórmula útil (aula rápida e mão na massa): a relação entre o potencial vetor
e o fluxo magnético
é
Em coordenadas cilíndricas, para um campo
, o rotacional é
Explico cada termo rapidinho:
- O primeiro componente (radial) envolve variação azimutal de
e variação em de . - O segundo (azimutal) envolve variação em
de e variação radial de . - O terceiro (axial) envolve derivada radial de
e variação azimutal de .
Agora aplicamos isso ao nosso
. Temos
,
,
. Vamos calcular componente a componente.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo:
- Componente radial
:
pois não há dependência em
nem em
.
- Componente azimutal
:
- Componente axial
:
Calculando a derivada:
logo
Portanto
Explicação didática: a única contribuição vem porque
tem variação radial; isso gera um campo axial
proporcional a
.
Passo 4
Agora
em espaço livre (vácuo) é simplesmente
onde
é a permeabilidade do vácuo
. Então
Posso deixar em forma simbólica
ou, se quiser um valor numérico aproximado,
portanto
. Mas em prova é aceitável manter
explícito.
Passo 5
Agora precisamos de
. Na magnetostática (sem correntes de deslocamento) vale a forma local da lei de Ampère:
Vamos calcular
com
, ou seja
.
Usando a mesma fórmula do rotacional em cilíndricas:
- Componente radial:
- Componente azimutal:
(derivada de
em relação a
é
).
- Componente axial:
Portanto
Interpretação física curta: a densidade de corrente é azimutal e uniforme (independe de
), apontando na direção
.
Passo 6
(c) Corrente total que cruza a superfície plana
dada por
.
- A superfície é um disco no plano
; o vetor normal de superfície pode ser escolhido (ou , mas a magnitude da corrente atravessando o disco será a integral de sobre a área). - A densidade
que encontramos tem apenas componente azimutal . Assim em todo ponto. - A corrente total atravessando a superfície é
pois o integrando é zero.
Conclusão: a corrente total que atravessa o disco é nula.
Passo 7
(d) Cálculo de
ao redor do círculo
.
Método 1 — cálculo direto: o elemento de linha ao redor do círculo de raio
é
com
, logo
. Nosso
tem apenas componente axial (
), ou seja
. Portanto o integrando
em todo ponto e a integral é zero:
Método 2 — via Lei integral de Ampère:
, corrente livre atravessando qualquer superfície limitada pelo contorno. Pelo item (c) vimos que a corrente atravessando o disco
é zero, logo a integral também é zero. Consistente com o cálculo direto.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)