8.41 Suponha que \mathrm{A}=50 \rho^{2} \mathrm{a}{2}, \mathrm{~Wb} / \mathrm{m} em uma certa região do espaço livre. (a) Determine H e B. (b) Determine J. (c) Use J para determinar a corrente total que cruza a superficie 0 \leq \rho \leq 1,0 \leq \varphi \leq 2 \pi, z=0. (d) Useo valor de H{b} \mathrm{em} \rho=1 para calcular \oint \mathbf{H} \cdot d \mathbf{L} para \rho= 1, z=0.

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetor magnético numa região do espaço livre e pede várias grandezas. Dados e perguntas (escritos de forma clara):
  • Dado: o potencial vetor magnético é
\mathbf{A}=50\,\rho^{2}\,\mathbf{a}_{\varphi}\quad\text{(unidade: Wb/m)}.
Aqui \rho é a coordenada radial cilíndrica e \mathbf{a}_{\varphi} é o versor na direção azimutal.
  • Pedidos:
    (a) Determinar \mathbf{B} e \mathbf{H}.
    (b) Determinar a densidade de corrente \mathbf{J}.
    (c) Usar \mathbf{J} para determinar a corrente total que cruza a superfície dada por 0\le\rho\le1,\;0\le\varphi\le2\pi,\;z=0.
    (d) Usar o valor de \mathbf{H} em \rho=1 para calcular \displaystyle\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{L} ao redor do círculo \rho=1,\;z=0.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (aula rápida e mão na massa): a relação entre o potencial vetor \mathbf{A} e o fluxo magnético \mathbf{B} é
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.
Em coordenadas cilíndricas, para um campo \mathbf{F}=F_{\rho}\mathbf{a}_{\rho}+F_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi}+F_{z}\mathbf{a}_{z}, o rotacional é
\nabla\times\mathbf{F}= \frac{1}{\rho}\Bigg(\frac{\partial F_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial(\rho F_{\varphi})}{\partial z}\Bigg)\mathbf{a}_{\rho} +\Bigg(\frac{\partial F_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial\rho}\Bigg)\mathbf{a}_{\varphi} +\frac{1}{\rho}\Bigg(\frac{\partial(\rho F_{\varphi})}{\partial\rho}-\frac{\partial F_{\rho}}{\partial\varphi}\Bigg)\mathbf{a}_{z}.
Explico cada termo rapidinho:
  • O primeiro componente (radial) envolve variação azimutal de F_{z} e variação em z de \rho F_{\varphi}.
  • O segundo (azimutal) envolve variação em z de F_{\rho} e variação radial de F_{z}.
  • O terceiro (axial) envolve derivada radial de \rho F_{\varphi} e variação azimutal de F_{\rho}.
Agora aplicamos isso ao nosso \mathbf{A}. Temos A_{\rho}=0, A_{\varphi}=50\rho^{2}, A_{z}=0. Vamos calcular componente a componente.

Passo 3

Cálculo de \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A} passo a passo:
  • Componente radial \mathbf{a}_{\rho}:
B_{\rho}=\frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial A_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial(\rho A_{\varphi})}{\partial z}\Big) =\frac{1}{\rho}\Big(0-\frac{\partial( \rho\cdot 50\rho^{2})}{\partial z}\Big)=0,
pois não há dependência em z nem em \varphi.
  • Componente azimutal \mathbf{a}_{\varphi}:
B_{\varphi}=\frac{\partial A_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial\rho}=0-0=0.
  • Componente axial \mathbf{a}_{z}:
B_{z}=\frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial(\rho A_{\varphi})}{\partial\rho}-\frac{\partial A_{\rho}}{\partial\varphi}\Big) =\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}( \rho\cdot 50\rho^{2})=\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}(50\rho^{3}).
Calculando a derivada:
\frac{d}{d\rho}(50\rho^{3})=150\rho^{2},
logo
B_{z}=\frac{1}{\rho}\cdot 150\rho^{2}=150\rho.
Portanto
\mathbf{B}=150\,\rho\,\mathbf{a}_{z}\quad\text{(unidade: Wb/m}^{2}\text{ = T).}
Explicação didática: a única contribuição vem porque \rho A_{\varphi}=50\rho^{3} tem variação radial; isso gera um campo axial B_{z} proporcional a \rho.

Passo 4

Agora \mathbf{H} em espaço livre (vácuo) é simplesmente
\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{B},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}. Então
\mathbf{H}=\frac{150\rho}{\mu_{0}}\,\mathbf{a}_{z}.
Posso deixar em forma simbólica \mathbf{H}=(150/\mu_{0})\rho\,\mathbf{a}_{z} ou, se quiser um valor numérico aproximado,
\frac{150}{\mu_{0}}\approx\frac{150}{4\pi\times10^{-7}}\approx 1{,}19366\times10^{8},
portanto \mathbf{H}\approx 1{,}19366\times10^{8}\rho\,\mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{A/m}. Mas em prova é aceitável manter \mu_{0} explícito.

Passo 5

Agora precisamos de \mathbf{J}. Na magnetostática (sem correntes de deslocamento) vale a forma local da lei de Ampère:
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}.
Vamos calcular \nabla\times\mathbf{H} com \mathbf{H}=H_{z}(\rho)\mathbf{a}_{z}, ou seja H_{\rho}=0,\;H_{\varphi}=0,\;H_{z}=\dfrac{150\rho}{\mu_{0}}.
Usando a mesma fórmula do rotacional em cilíndricas:
  • Componente radial:
J_{\rho}=\frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial H_{z}}{\partial\varphi}-\frac{\partial(\rho H_{\varphi})}{\partial z}\Big)=0.
  • Componente azimutal:
J_{\varphi}=\frac{\partial H_{\rho}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial\rho}=0-\frac{d}{d\rho}\Big(\frac{150\rho}{\mu_{0}}\Big) =-\frac{150}{\mu_{0}}.
(derivada de 150\rho/\mu_{0} em relação a \rho é 150/\mu_{0}).
  • Componente axial:
J_{z}=\frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial(\rho H_{\varphi})}{\partial\rho}-\frac{\partial H_{\rho}}{\partial\varphi}\Big)=0.
Portanto
\mathbf{J}=-\frac{150}{\mu_{0}}\,\mathbf{a}_{\varphi}\quad\text{(unidade: A/m}^{2}\text{).}
Interpretação física curta: a densidade de corrente é azimutal e uniforme (independe de \rho), apontando na direção -\mathbf{a}_{\varphi}.

Passo 6

(c) Corrente total que cruza a superfície plana S dada por 0\le\rho\le1,\;0\le\varphi\le2\pi,\;z=0.
  • A superfície é um disco no plano z=0; o vetor normal de superfície pode ser escolhido \mathbf{n}=\mathbf{a}_{z} (ou -\mathbf{a}_{z}, mas a magnitude da corrente atravessando o disco será a integral de \mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_{z} sobre a área).
  • A densidade \mathbf{J} que encontramos tem apenas componente azimutal \mathbf{a}_{\varphi}. Assim \mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_{z}=0 em todo ponto.
  • A corrente total atravessando a superfície é
I=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_{z}\,dS=0,
pois o integrando é zero.
Conclusão: a corrente total que atravessa o disco é nula.

Passo 7

(d) Cálculo de \displaystyle\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{L} ao redor do círculo \rho=1,\;z=0.
Método 1 — cálculo direto: o elemento de linha ao redor do círculo de raio \rho=1 é d\mathbf{L}=\rho\,d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi} com \rho=1, logo d\mathbf{L}=1\cdot d\varphi\,\mathbf{a}_{\varphi}. Nosso \mathbf{H} tem apenas componente axial ( \mathbf{a}_{z}), ou seja \mathbf{H}\cdot\mathbf{a}_{\varphi}=0. Portanto o integrando \mathbf{H}\cdot d\mathbf{L}=0 em todo ponto e a integral é zero:
\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{L}=0.
Método 2 — via Lei integral de Ampère: \oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{L}=I_{\text{enc}}, corrente livre atravessando qualquer superfície limitada pelo contorno. Pelo item (c) vimos que a corrente atravessando o disco \rho\le1 é zero, logo a integral também é zero. Consistente com o cálculo direto.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{B}=150\,\rho\,\mathbf{a}_{z},\quad \displaystyle \mathbf{H}=\frac{150\,\rho}{\mu_{0}}\,\mathbf{a}_{z}.
(b) \displaystyle \mathbf{J}=-\frac{150}{\mu_{0}}\,\mathbf{a}_{\varphi}.
(c) \displaystyle I_{\text{total}}=0\\ \mathrm{A}.
(d) \displaystyle \oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{L}=0.

Exercícios relacionados