33.(EPCAR 2015)Numa fábrica de sucos há três reservatórios
,
e
.O reservatório
comporta
da capacidade de
e
juntos.Os reservatórios
e
estão cheios de uma mistura de suco concentrado de uvas e de água.A razão entre o volume de suco concentrado de uvas e o volume de água no reservatório
é 8 para 1 e no reservatório
é 10 para 1 .As misturas dos dois reservatórios
e
serão despejadas no reservatório
.Com base nessas informações, analise as afirmativas abaixo.
I.A razão do volume de suco concentrado de uvas para o de água no reservatório
é
.
II.Se em
há 20 litros de água e em
há 22 litros de água,então a capacidade de
é menor que 600 litros.
III.Na mistura do reservatório
haverá menos de
de água. São FALSAS
a)apenas I.
c)apenas I e III.
b)apenas I e II.
I.A razão do volume de suco concentrado de uvas para o de água no reservatório
II.Se em
III.Na mistura do reservatório
a)apenas I.
c)apenas I e III.
b)apenas I e II.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
-
Dados (extraídos do enunciado):
- Há três reservatórios com capacidades
(para ), (para ) e (para ). - Relação entre capacidades:
-
e estão cheios com misturas de suco concentrado e água. - No
a razão suco:água é . - No
a razão suco:água é . - As misturas de
e serão despejadas em .
- Há três reservatórios com capacidades
-
O enunciado pede que se analise as afirmativas:
I. A razão suco:água emé .
II. Se emhá litros de água e em há litros de água, então litros.
III. Na mistura dohaverá menos de de água.
O objetivo: determinar quais dessas afirmações são falsas (escolher entre as alternativas fornecidas).
Passo 2
Expressar, em termos de
e
, os volumes de suco concentrado e de água em cada reservatório — e explicar por que.
- Entendimento de razão: se em
a razão suco:água é , isso significa que, do volume total , - suco concentrado ocupa a fração
de ; - água ocupa a fração
de .
- suco concentrado ocupa a fração
- Analogamente, em
(razão ): - suco ocupa
de ; - água ocupa
de .
- suco ocupa
Portanto:
Passo 3
Calcular as quantidades totais após misturar em
e a razão suco:água geral — passo a passo e com simplificação.
- Total de suco após despejar:
- Total de água após despejar:
- A razão suco:água em
é . Para simplificar essa fração, multiplico numerador e denominador por (o m.c.m. de e ):
Observação didática: a razão final depende de
e
. Não é uma constante fixa; varia conforme as capacidades relativas dos dois reservatórios.
Passo 4
Analisar a afirmativa I usando o resultado do passo anterior.
- Afirmativa I diz que a razão é
. Mas do passo anterior temos a razão que depende de e . Para ver que I é falsa basta um contraexemplo simples: tomar . Então - Conclusão: I é falsa (a razão não é constante
).
Passo 5
Resolver a afirmativa II com contas diretas (aqui uso exatamente os dados fornecidos).
- Foi dado: em
há litros de água. Como água em é , obtemos - Em
há litros de água. Como água em é , obtemos - Agora a capacidade de
é - Afirmativa II dizia que
. Mas . Logo II é falsa.
Passo 6
Analisar a afirmativa III. Primeiro interpretar corretamente o que se quer dizer por “Na mistura do reservatório
haverá menos de
de água” e decidir a interpretação coerente com o enunciado.
-
Existem duas interpretações possíveis:
- “menos de
de água” como porcentagem da mistura (isto é, da própria mistura que ocupa , ou seja, fração ); ou - “menos de
de água” como porcentagem da capacidade total de (isto é, fração ).
- “menos de
-
Observação: o texto deu a relação
. Essa informação conecta explicitamente com , então é natural (e provável, num enunciado de concurso) que a afirmativa III queira comparar o volume de água com a capacidade de (interpretação 2). Vou verificar a veracidade dessa interpretação — e, para ser completo, mostro também a situação da interpretação 1.
Passo 7
Verificar III sob a interpretação 2 (água como porcentagem da capacidade de
) — cálculo e explicação didática.
- A fração de água em relação à capacidade de
é - Agora, observe que para quaisquer
a quantidade é uma média ponderada entre e ; portanto ela fica entre e . Em particular seu valor máximo é . - Assim o valor máximo possível de
é - Avaliando numericamente,
que é bem menor que . - Conclusão: sob a interpretação natural (água como porcentagem da capacidade de
), a fração de água é sempre menor que . Logo III é verdadeira nessa leitura.
Passo 8
Comentário curto sobre a outra interpretação (para evitar confusões) — mostrar que, se alguém entender III como porcentagem da própria mistura, então III seria falsa em geral.
- Se interpretarmos III como porcentagem da mistura (fração
), então fica entre (≈ ) e (≈ ). Como o valor máximo é , existe possibilidade de ter ligeiramente mais que (por exemplo, se for muito pequeno), portanto sob essa interpretação III nem sempre seria verdadeira. Por isso a interpretação 2 (porcentagem em relação à capacidade de ) é a que torna III verdade e é coerente com o fato de o enunciado ter dado a relação entre e .
Passo 9
Síntese final das classificações de verdade/falsidade:
- I é falsa (a razão suco:água em
não é fixa em ; depende de e ; ex.: para a razão é ). - II é falsa (com os dados
L de água em e L em obtém-se L, que não é menor que L). - III (interpretada como porcentagem do volume de água em relação à capacidade de
) é verdadeira, porque o máximo possível dessa porcentagem é .
Portanto as afirmativas falsas são I e II, apenas.
Resposta
b) apenas I e II.