33.(EPCAR 2015)Numa fábrica de sucos há três reservatórios R_{1} R_{2} e R_{3} .O reservatório R_{3} comporta \frac{3}{2} da capacidade de R_{1} e R_{2} juntos.Os reservatórios R_{1} e R_{2} estão cheios de uma mistura de suco concentrado de uvas e de água.A razão entre o volume de suco concentrado de uvas e o volume de água no reservatório R_{1} é 8 para 1 e no reservatório R_{2} é 10 para 1 .As misturas dos dois reservatórios R_{1} e R_{2} serão despejadas no reservatório R_{3} .Com base nessas informações, analise as afirmativas abaixo.
I.A razão do volume de suco concentrado de uvas para o de água no reservatório \mathrm{R}_{3} é \frac{87}{10}
II.Se em R_{1} há 20 litros de água e em R_{2} há 22 litros de água,então a capacidade de \mathrm{R}_{3} é menor que 600 litros.
III.Na mistura do reservatório R_{3} haverá menos de 11 \% de água. São FALSAS
a)apenas I.
c)apenas I e III.
b)apenas I e II.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Dados (extraídos do enunciado):
    • Há três reservatórios com capacidades V_{1} (para R_{1}), V_{2} (para R_{2}) e V_{3} (para R_{3}).
    • Relação entre capacidades: V_{3}=\tfrac{3}{2}\,(V_{1}+V_{2}).
    • R_{1} e R_{2} estão cheios com misturas de suco concentrado e água.
    • No R_{1} a razão suco:água é 8:1.
    • No R_{2} a razão suco:água é 10:1.
    • As misturas de R_{1} e R_{2} serão despejadas em R_{3}.
  • O enunciado pede que se analise as afirmativas:
    I. A razão suco:água em R_{3} é \dfrac{87}{10}.
    II. Se em R_{1} 20 litros de água e em R_{2} 22 litros de água, então V_{3}<600 litros.
    III. Na mistura do R_{3} haverá menos de 11\% de água.
O objetivo: determinar quais dessas afirmações são falsas (escolher entre as alternativas fornecidas).

Passo 2

Expressar, em termos de V_{1} e V_{2}, os volumes de suco concentrado e de água em cada reservatório — e explicar por que.
  • Entendimento de razão: se em R_{1} a razão suco:água é 8:1, isso significa que, do volume total V_{1},
    • suco concentrado ocupa a fração \dfrac{8}{8+1}=\dfrac{8}{9} de V_{1};
    • água ocupa a fração \dfrac{1}{9} de V_{1}.
  • Analogamente, em R_{2} (razão 10:1):
    • suco ocupa \dfrac{10}{11} de V_{2};
    • água ocupa \dfrac{1}{11} de V_{2}.
Portanto:
\begin{aligned} \text{suco em }R_{1}&=\dfrac{8}{9}V_{1}, &\text{água em }R_{1}&=\dfrac{1}{9}V_{1},\\[4pt] \text{suco em }R_{2}&=\dfrac{10}{11}V_{2}, &\text{água em }R_{2}&=\dfrac{1}{11}V_{2}. \end{aligned}áá]

Passo 3

Calcular as quantidades totais após misturar em R_{3} e a razão suco:água geral — passo a passo e com simplificação.
  • Total de suco após despejar: S=\dfrac{8}{9}V_{1}+\dfrac{10}{11}V_{2}.
  • Total de água após despejar: A=\dfrac{1}{9}V_{1}+\dfrac{1}{11}V_{2}.
  • A razão suco:água em R_{3} é \dfrac{S}{A}. Para simplificar essa fração, multiplico numerador e denominador por 99 (o m.c.m. de 9 e 11): \frac{S}{A} =\frac{99\left(\dfrac{8}{9}V_{1}+\dfrac{10}{11}V_{2}\right)} {99\left(\dfrac{1}{9}V_{1}+\dfrac{1}{11}V_{2}\right)} =\frac{88V_{1}+90V_{2}}{11V_{1}+9V_{2}}.
Observação didática: a razão final depende de V_{1} e V_{2}. Não é uma constante fixa; varia conforme as capacidades relativas dos dois reservatórios.

Passo 4

Analisar a afirmativa I usando o resultado do passo anterior.
  • Afirmativa I diz que a razão é \dfrac{87}{10}. Mas do passo anterior temos a razão \dfrac{S}{A}=\dfrac{88V_{1}+90V_{2}}{11V_{1}+9V_{2}},que depende de V_{1} e V_{2}. Para ver que I é falsa basta um contraexemplo simples: tomar V_{1}=V_{2}. Então \dfrac{S}{A}=\frac{88+90}{11+9}=\frac{178}{20}=\frac{89}{10}=8{,}9\neq\frac{87}{10}.
  • Conclusão: I é falsa (a razão não é constante \tfrac{87}{10}).

Passo 5

Resolver a afirmativa II com contas diretas (aqui uso exatamente os dados fornecidos).
  • Foi dado: em R_{1} 20 litros de água. Como água em R_{1} é \dfrac{1}{9}V_{1}, obtemos \dfrac{1}{9}V_{1}=20 \quad\Rightarrow\quad V_{1}=20\cdot9=180\\ \text{litros}.
  • Em R_{2} 22 litros de água. Como água em R_{2} é \dfrac{1}{11}V_{2}, obtemos \dfrac{1}{11}V_{2}=22 \quad\Rightarrow\quad V_{2}=22\cdot11=242\\ \text{litros}.
  • Agora a capacidade de R_{3} é V_{3}=\tfrac{3}{2}(V_{1}+V_{2})=\tfrac{3}{2}(180+242)=\tfrac{3}{2}\cdot422=633\\ \text{litros}.
  • Afirmativa II dizia que V_{3}<600. Mas 633>600. Logo II é falsa.

Passo 6

Analisar a afirmativa III. Primeiro interpretar corretamente o que se quer dizer por “Na mistura do reservatório R_{3} haverá menos de 11\% de água” e decidir a interpretação coerente com o enunciado.
  • Existem duas interpretações possíveis:
    1. “menos de 11\% de água” como porcentagem da mistura (isto é, da própria mistura que ocupa R_{3}, ou seja, fração \dfrac{A}{V_{1}+V_{2}}); ou
    2. “menos de 11\% de água” como porcentagem da capacidade total de R_{3} (isto é, fração \dfrac{A}{V_{3}}).
  • Observação: o texto deu a relação V_{3}=\tfrac{3}{2}(V_{1}+V_{2}). Essa informação conecta explicitamente V_{3} com V_{1}+V_{2}, então é natural (e provável, num enunciado de concurso) que a afirmativa III queira comparar o volume de água com a capacidade de R_{3} (interpretação 2). Vou verificar a veracidade dessa interpretação — e, para ser completo, mostro também a situação da interpretação 1.

Passo 7

Verificar III sob a interpretação 2 (água como porcentagem da capacidade de R_{3}) — cálculo e explicação didática.
  • A fração de água em relação à capacidade de R_{3} é \frac{A}{V_{3}}=\frac{\dfrac{1}{9}V_{1}+\dfrac{1}{11}V_{2}}{\tfrac{3}{2}(V_{1}+V_{2})} =\frac{2}{3}\cdot\frac{\dfrac{1}{9}V_{1}+\dfrac{1}{11}V_{2}}{V_{1}+V_{2}}.
  • Agora, observe que para quaisquer V_{1},V_{2}>0 a quantidade \frac{\dfrac{1}{9}V_{1}+\dfrac{1}{11}V_{2}}{V_{1}+V_{2}}é uma média ponderada entre \dfrac{1}{9} e \dfrac{1}{11}; portanto ela fica entre \dfrac{1}{11} e \dfrac{1}{9}. Em particular seu valor máximo é \dfrac{1}{9}.
  • Assim o valor máximo possível de \dfrac{A}{V_{3}} é \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{9}=\frac{2}{27}.
  • Avaliando numericamente, \frac{2}{27}\approx 0{,}07407=7{,}407\%\;,que é bem menor que 11\%.
  • Conclusão: sob a interpretação natural (água como porcentagem da capacidade de R_{3}), a fração de água é sempre menor que 11\%. Logo III é verdadeira nessa leitura.

Passo 8

Comentário curto sobre a outra interpretação (para evitar confusões) — mostrar que, se alguém entender III como porcentagem da própria mistura, então III seria falsa em geral.
  • Se interpretarmos III como porcentagem da mistura (fração \dfrac{A}{V_{1}+V_{2}}), então \frac{A}{V_{1}+V_{2}}=\frac{\dfrac{1}{9}V_{1}+\dfrac{1}{11}V_{2}}{V_{1}+V_{2}}fica entre \dfrac{1}{11} (≈ 9{,}09\%) e \dfrac{1}{9} (≈ 11{,}11\%). Como o valor máximo é \dfrac{1}{9}, existe possibilidade de ter ligeiramente mais que 11\% (por exemplo, se V_{2} for muito pequeno), portanto sob essa interpretação III nem sempre seria verdadeira. Por isso a interpretação 2 (porcentagem em relação à capacidade de R_{3}) é a que torna III verdade e é coerente com o fato de o enunciado ter dado a relação entre V_{3} e V_{1}+V_{2}.

Passo 9

Síntese final das classificações de verdade/falsidade:
  • I é falsa (a razão suco:água em R_{3} não é fixa em \tfrac{87}{10}; depende de V_{1} e V_{2}; ex.: para V_{1}=V_{2} a razão é \tfrac{89}{10}).
  • II é falsa (com os dados 20 L de água em R_{1} e 22 L em R_{2} obtém-se V_{3}=633 L, que não é menor que 600 L).
  • III (interpretada como porcentagem do volume de água em relação à capacidade de R_{3}) é verdadeira, porque o máximo possível dessa porcentagem é \dfrac{2}{27}\approx7{,}407\%<11\%.
Portanto as afirmativas falsas são I e II, apenas.

Resposta

b) apenas I e II.

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