(CN 2010) O combustível A é composto de uma mistura de 20 \% de álcool e 80 \% de gasolina. O combustível B é constituído exclusivamente de álcool. Um motorista quer encher completamente o tanque do seu carro com 50% de álcool e 50% de gasolina. Para alcançar o seu objetivo, colocou x litros de A e y litros de B. A razão x/y é dada por:
a) 5 / 3.
b) 3 / 5.
c) 2 / 5.
d) 5 / 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (pego do enunciado):
    • O combustível A tem 20\% de álcool e 80\% de gasolina.
    • O combustível B é 100\% álcool.
    • O motorista quer encher o tanque com uma mistura que seja 50\% álcool e 50\% gasolina.
    • Ele colocou x litros de A e y litros de B.
  • O que se pede:
    • Determinar a razão \dfrac{x}{y}.

Passo 2

Vamos traduzir as porcentagens em frações e escrever a expressão para a quantidade de álcool na mistura.
  • 20\% = \dfrac{1}{5}.
  • 100\% = 1.
  • 50\% = \dfrac{1}{2}.
Quantidade de álcool fornecida por cada combustível:
  • De A: \dfrac{1}{5}x litros de álcool.
  • De B: 1\cdot y = y litros de álcool.
Quantidade total de álcool na mistura é a soma dessas duas parcelas, e essa quantidade deve ser metade do volume total x+y (porque a mistura é 50\% álcool).

Passo 3

Escrevendo a equação que expressa o requisito de 50\% de álcool:
\dfrac{1}{5}x + y = \dfrac{1}{2}(x+y)
Explico a equação: o lado esquerdo é a quantidade total de álcool (álcool vindo de A mais álcool vindo de B); o lado direito é metade do volume total, que é o objetivo (50% de álcool).

Passo 4

Agora resolvemos a equação passo a passo.
Primeiro expandir o lado direito:
\dfrac{1}{5}x + y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}y
Multiplico ambos os lados por 10 para eliminar denominadores (isso facilita as contas):
10\!\left(\dfrac{1}{5}x + y\right) = 10\!\left(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}y\right)
o que dá
2x + 10y = 5x + 5y
Agora isolamos termos com x de um lado e com y do outro:
10y - 5y = 5x - 2x
5y = 3x
Dividindo ambos os lados por y (assumindo y\neq0) e por 5, obtemos a razão procurada:
\frac{x}{y} = \frac{5}{3}

Passo 5

Vou mostrar também um método alternativo e muito usado em misturas (regra da aligação), que é mais rápido e dá intuição.
  • Coloca-se as concentrações nas extremidades e a concentração desejada no meio:
    • A:\\\ 20\% \quad alvo: 50\% \quad B:\\\ 100\%
  • Calcula-se as diferenças absolutas entre as concentrações extremas e a desejada:
    • Distância de B até o alvo: 100\% - 50\% = 50\%.
    • Distância de A até o alvo: 50\% - 20\% = 30\%.
  • A razão entre as quantidades de A e B é inversamente proporcional às distâncias:
    • x:y = 50:30 = 5:3.
Isso confirma \dfrac{x}{y}=\dfrac{5}{3}.

Passo 6

Checagem numérica rápida para ficar tranquilo: se eu tomar x=5 litros de A e y=3 litros de B,
  • álcool de A: \dfrac{1}{5}\cdot 5 = 1 litro,
  • álcool de B: 3 litros,
  • total álcool = 4 litros em 5+3=8 litros totais → fração de álcool 4/8 = 1/2 = 50\%. Perfeito!
Força aí — você já consegue aplicar isso em qualquer problema de mistura parecido.

Resposta

a) \dfrac{5}{3}

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