(CN 2010) O combustível A é composto de uma mistura de
de álcool e
de gasolina. O combustível B é constituído exclusivamente de álcool. Um motorista quer encher completamente o tanque do seu carro com 50% de álcool e 50% de gasolina. Para alcançar o seu objetivo, colocou x litros de A e y litros de B. A razão x/y é dada por:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados (pego do enunciado):
- O combustível
tem de álcool e de gasolina. - O combustível
é álcool. - O motorista quer encher o tanque com uma mistura que seja
álcool e gasolina. - Ele colocou
litros de e litros de .
- O combustível
-
O que se pede:
- Determinar a razão
.
- Determinar a razão
Passo 2
Vamos traduzir as porcentagens em frações e escrever a expressão para a quantidade de álcool na mistura.
-
. -
. -
.
Quantidade de álcool fornecida por cada combustível:
- De
: litros de álcool. - De
: litros de álcool.
Quantidade total de álcool na mistura é a soma dessas duas parcelas, e essa quantidade deve ser metade do volume total
(porque a mistura é
álcool).
Passo 3
Escrevendo a equação que expressa o requisito de
de álcool:
Explico a equação: o lado esquerdo é a quantidade total de álcool (álcool vindo de
mais álcool vindo de
); o lado direito é metade do volume total, que é o objetivo (50% de álcool).
Passo 4
Agora resolvemos a equação passo a passo.
Primeiro expandir o lado direito:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores (isso facilita as contas):
o que dá
Agora isolamos termos com
de um lado e com
do outro:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) e por 5, obtemos a razão procurada:
Passo 5
Vou mostrar também um método alternativo e muito usado em misturas (regra da aligação), que é mais rápido e dá intuição.
-
Coloca-se as concentrações nas extremidades e a concentração desejada no meio:
-
\quad alvo: \quad
-
-
Calcula-se as diferenças absolutas entre as concentrações extremas e a desejada:
- Distância de
até o alvo: . - Distância de
até o alvo: .
- Distância de
-
A razão entre as quantidades de
e é inversamente proporcional às distâncias: -
.
-
Isso confirma
.
Passo 6
Checagem numérica rápida para ficar tranquilo: se eu tomar
litros de
e
litros de
,
- álcool de
: litro, - álcool de
: litros, - total álcool =
litros em litros totais → fração de álcool . Perfeito!
Força aí — você já consegue aplicar isso em qualquer problema de mistura parecido.
Resposta
a)