32.(EPCAR 2018)Até a primeira quinzena do mês de março de 2017,o combustível comercializado nos postos de nosso País era uma mistura de 1 parte de etanol para 3 partes de gasolina.Considere esse combustível e um outro que apresenta a mistura de 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina.Juntando-se volumes iguais dos dois combustíveis,a nova relação de etanol para gasolina,nesta ordem,será
a) \frac{5}{9}
b) \frac{5}{12}
c) \frac{29}{75}

Passo 1

O enunciado dá duas misturas (relação etanol:gasolina) e pede a nova relação etanol:gasolina ao juntar volumes iguais dos dois combustíveis. Informações dadas:
  • Combustível A: etanol:gasolina = \tfrac{1}{3}.
  • Combustível B: etanol:gasolina = \tfrac{4}{9}.
    Queremos a relação etanol:gasolina da mistura obtida ao unir volumes iguais de A e B.

Passo 2

Transformar cada relação em fração do volume que é etanol (ou gasolina) no combustível:
  • Para A, a razão \tfrac{1}{3} significa 1 parte de etanol para 3 partes de gasolina, total 4 partes. Assim a fração de etanol em A é \dfrac{1}{1+3}=\dfrac{1}{4} e a fração de gasolina é \dfrac{3}{4}.
  • Para B, a razão \tfrac{4}{9} significa 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina, total 13 partes. Assim a fração de etanol em B é \dfrac{4}{13} e a fração de gasolina é \dfrac{9}{13}.

Passo 3

Escolher um volume igual para cada combustível; seja esse volume V (pode escolher V=1 para facilitar). Calcular o volume de etanol vindo de cada combustível:
  • Etanol vindo de A: V\cdot \dfrac{1}{4}.
  • Etanol vindo de B: V\cdot \dfrac{4}{13}.
    Logo o total de etanol na mistura é
E = V\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{13}\right).

Passo 4

Somar as frações para E. Usar denominador comum 52:
\dfrac{1}{4}=\dfrac{13}{52},\qquad \dfrac{4}{13}=\dfrac{16}{52},
então
\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{13}=\dfrac{13}{52}+\dfrac{16}{52}=\dfrac{29}{52}.
Portanto
E = V\cdot \dfrac{29}{52}.

Passo 5

Calcular o total de gasolina na mistura: gasolina de A é V\cdot \dfrac{3}{4} e de B é V\cdot \dfrac{9}{13}. Então
G = V\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{13}\right).
Novamente com denominador 52:
\dfrac{3}{4}=\dfrac{39}{52},\qquad \dfrac{9}{13}=\dfrac{36}{52},
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\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{13}=\dfrac{39}{52}+\dfrac{36}{52}=\dfrac{75}{52},
então
G = V\cdot \dfrac{75}{52}.

Passo 6

Calcular a relação etanol:gasolina da nova mistura, dividindo E por G:
\frac{E}{G}=\frac{V\cdot \dfrac{29}{52}}{V\cdot \dfrac{75}{52}}=\frac{29}{75}.
(O V e o denominador 52 cancelam.)

Resposta

c) \dfrac{29}{75}

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