34.(UNICAMP 1993)Duas torneiras são abertas juntas:a primeira enchendo um tanque em 5 horas,a segunda enchendo outro tanque de igual volume em 4 horas.No fim de quanto tempo,a partir do momento em que as torneiras são abertas,o volume que falta para encher o segundo tanque é \frac{1}{4} do volume que falta para encher o primeiro?
a) 3 horas
d) 4 horas
b) 3 horas 30 minutos
e) 4 horas 30 minutos

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Dois tanques têm o mesmo volume total; chamarei esse volume de V.
    • A primeira torneira enche um tanque em \,5 horas.
    • A segunda torneira enche o outro tanque (de mesmo volume) em \,4 horas.
    • Ambas as torneiras são abertas ao mesmo tempo.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Determinar o tempo t (contado a partir do momento em que as torneiras são abertas) tal que o volume que falta para encher o segundo tanque seja \tfrac{1}{4} do volume que falta para encher o primeiro tanque.

Passo 2

Entender a noção de taxa de enchimento (velocidade) e escrever as taxas em termos de V.
  • Se a primeira torneira enche V em 5 horas, a sua taxa (volume por hora) é r_1=\frac{V}{5}.Aqui r_1 significa “quantos volumes parciais da unidade V a primeira torneira coloca por hora”.
  • Se a segunda torneira enche V em 4 horas, a sua taxa é r_2=\frac{V}{4}.Analogamente, r_2 é o volume por hora para a segunda torneira.
Explicação didática curta: falar de taxa é essencial — em problemas de enchimento, geralmente representa-se “volume total dividido pelo tempo total” para obter “volume por unidade de tempo”. Isso permite computar quanto cada torneira enche em qualquer tempo t.

Passo 3

Expressar o volume já enchido e o volume que falta em cada tanque após um tempo genérico t.
  • Volume enchido pelo primeiro tanque após tempo t: \text{enchido}_1 = r_1 t = \frac{V}{5}\,t.Logo o volume que falta no primeiro tanque é \text{falta}_1 = V - \frac{V}{5}t = V\!\left(1 - \frac{t}{5}\right).
  • Volume enchido pelo segundo tanque após tempo t: \text{enchido}_2 = r_2 t = \frac{V}{4}\,t.Logo o volume que falta no segundo tanque é \text{falta}_2 = V - \frac{V}{4}t = V\!\left(1 - \frac{t}{4}\right).
Observação didática: note que escrevemos os “faltantes” em função de V e t. É muito útil porque V vai se cancelar na equação que impõe a condição do enunciado — isso acontece quando os tanques têm o mesmo volume.

Passo 4

Impor a condição dada e resolver a equação para t.
A condição do enunciado é: o volume que falta para encher o segundo tanque é \tfrac{1}{4} do volume que falta para encher o primeiro. Em fórmulas:
\text{falta}_2 = \frac{1}{4}\,\text{falta}_1.
Substituindo as expressões obtidas:
V\!\left(1 - \frac{t}{4}\right) = \frac{1}{4}\,V\!\left(1 - \frac{t}{5}\right).
Como V>0, podemos dividir ambos os lados por V:
1 - \frac{t}{4} = \frac{1}{4}\left(1 - \frac{t}{5}\right).
Agora resolvemos essa equação passo a passo. Primeiro, multiplicar todos os termos por 20 (o mínimo comum múltiplo de 4 e 5) para eliminar denominadores:
20\left(1 - \frac{t}{4}\right) = 20\cdot\frac{1}{4}\left(1 - \frac{t}{5}\right).
Calcular cada lado:
20 - 5t = 5\left(1 - \frac{t}{5}\right).
Expandir o lado direito:
20 - 5t = 5 - t.
Reorganizar para isolar t: passar os termos com t para um lado e os constantes para o outro:
20 - 5 = -t + 5t
ou, de forma mais direta,
20 - 5 = 5t - t.
Então
15 = 4t.
Logo
t = \frac{15}{4}\\ \text{horas}.

Passo 5

Converter o resultado em horas e minutos e interpretar.
  • \dfrac{15}{4} horas é 3 horas mais \dfrac{3}{4} de hora, pois \dfrac{15}{4}=3+\dfrac{3}{4}.
  • \dfrac{3}{4} de hora corresponde a \dfrac{3}{4}\times 60 = 45 minutos.
Portanto o tempo procurado é 3 horas e 45 minutos.
Comentário encorajador: ótima! Mesmo que no início pareça confuso, definir taxas e escrever os faltantes em função de t normalmente resolve esse tipo de problema direto e sem dor de cabeça.

Resposta

3\\ \text{horas }45\\ \text{minutos}

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