34.(UNICAMP 1993)Duas torneiras são abertas juntas:a primeira enchendo um tanque em 5 horas,a segunda enchendo outro tanque de igual volume em 4 horas.No fim de quanto tempo,a partir do momento em que as torneiras são abertas,o volume que falta para encher o segundo tanque é
do volume que falta para encher o primeiro?
a) 3 horas
d) 4 horas
b) 3 horas 30 minutos
e) 4 horas 30 minutos
a) 3 horas
d) 4 horas
b) 3 horas 30 minutos
e) 4 horas 30 minutos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Dois tanques têm o mesmo volume total; chamarei esse volume de
. - A primeira torneira enche um tanque em
horas. - A segunda torneira enche o outro tanque (de mesmo volume) em
horas. - Ambas as torneiras são abertas ao mesmo tempo.
- Dois tanques têm o mesmo volume total; chamarei esse volume de
-
O que o enunciado pergunta:
- Determinar o tempo
(contado a partir do momento em que as torneiras são abertas) tal que o volume que falta para encher o segundo tanque seja do volume que falta para encher o primeiro tanque.
- Determinar o tempo
Passo 2
Entender a noção de taxa de enchimento (velocidade) e escrever as taxas em termos de
.
- Se a primeira torneira enche
em horas, a sua taxa (volume por hora) é Aqui significa “quantos volumes parciais da unidade a primeira torneira coloca por hora”. - Se a segunda torneira enche
em horas, a sua taxa é Analogamente, é o volume por hora para a segunda torneira.
Explicação didática curta: falar de taxa é essencial — em problemas de enchimento, geralmente representa-se “volume total dividido pelo tempo total” para obter “volume por unidade de tempo”. Isso permite computar quanto cada torneira enche em qualquer tempo
.
Passo 3
Expressar o volume já enchido e o volume que falta em cada tanque após um tempo genérico
.
- Volume enchido pelo primeiro tanque após tempo
: Logo o volume que falta no primeiro tanque é - Volume enchido pelo segundo tanque após tempo
: Logo o volume que falta no segundo tanque é
Observação didática: note que escrevemos os “faltantes” em função de
e
. É muito útil porque
vai se cancelar na equação que impõe a condição do enunciado — isso acontece quando os tanques têm o mesmo volume.
Passo 4
Impor a condição dada e resolver a equação para
.
A condição do enunciado é: o volume que falta para encher o segundo tanque é
do volume que falta para encher o primeiro. Em fórmulas:
Substituindo as expressões obtidas:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Agora resolvemos essa equação passo a passo. Primeiro, multiplicar todos os termos por
(o mínimo comum múltiplo de
e
) para eliminar denominadores:
Calcular cada lado:
Expandir o lado direito:
Reorganizar para isolar
: passar os termos com
para um lado e os constantes para o outro:
ou, de forma mais direta,
Então
Logo
Passo 5
Converter o resultado em horas e minutos e interpretar.
-
horas é horas mais de hora, pois . -
de hora corresponde a minutos.
Portanto o tempo procurado é
horas e
minutos.
Comentário encorajador: ótima! Mesmo que no início pareça confuso, definir taxas e escrever os faltantes em função de
normalmente resolve esse tipo de problema direto e sem dor de cabeça.