Demonstre pelo método analítico que, para espelhos convexos, a imagem será sempre virtual, independentemente da posição de P.
Escolha valores arbitrários e teste o resultado para uma condição específica.

Passo 1

O que o problema pede: demonstrar, por método analítico, que para um espelho convexo a imagem será sempre virtual, independentemente da posição de P (isto é, para qualquer posição do objeto ao longo do eixo principal). Em seguida devo escolher valores arbitrários e testar o resultado para uma condição específica.
Informações relevantes e convenções que usarei (listadas sem resolver ainda):
  • Existe um ponto objeto P situado na frente do espelho; a distância do objeto ao vértice do espelho será denotada por p.
  • A distância imagem ao vértice será denotada por q.
  • O espelho é convexo; portanto o seu centro de curvatura está do outro lado do espelho (atrás dele).
  • Vou usar a equação dos espelhos esféricos (forma padrão) que relaciona p, q e o foco f: \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{f}.
  • O objetivo é provar analiticamente que q tem sinal que corresponde a imagem virtual (conforme convenção que explicarei) para qualquer p>0.

Passo 2

Definição de variáveis e convenção de sinais (muito importante):
  • p é a distância do objeto ao vértice do espelho. Para um objeto real em frente ao espelho tomamos p>0.
  • q é a distância da imagem ao vértice. Pela convenção cartesiana para espelhos esféricos: q>0 indica imagem real (do mesmo lado que o objeto, em frente ao espelho) e q<0 indica imagem virtual (atrás do espelho).
  • f é a distância focal. Para espelhos convexos a distância focal é negativa, pois o foco efetivo está atrás do espelho; escrevo f<0.
    Explicação rápida do porquê de f<0: o foco é metade do raio de curvatura R ( f=R/2). No caso convexo, o centro de curvatura fica atrás do espelho, então R<0 e portanto f<0.

Passo 3

Apresento a fórmula que vou usar e explico o significado de cada termo:
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}.
  • Esta é a equação dos espelhos esféricos (válida na aproximação para raios paraxiais). Ela relaciona a posição do objeto ( p), a posição da imagem ( q) e a distância focal ( f).
  • Cada variável representa uma distância algébrica a partir do vértice do espelho, seguindo a convenção de sinais definida no passo anterior.

Passo 4

Isolo q na equação para obter uma expressão explícita:
Parto de
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}.
Subtraio \dfrac{1}{p} dos dois lados:
\frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}.
Coloco os termos sobre um denominador comum:
\frac{1}{q}=\frac{p-f}{pf}.
Invertendo ambos os lados (tomando o inverso) obtenho:
q=\frac{pf}{p-f}.
Esta é a expressão que será analisada quanto ao sinal de q.

Passo 5

Analise do sinal de q para um espelho convexo:
  • Para espelho convexo temos f<0. Escrevo f=-|f| com |f|>0.
  • O objeto real está em frente ao espelho, então p>0.
    Substituo f=-|f| na expressão de q:
q=\frac{p(-|f|)}{p-(-|f|)} = \frac{-p|f|}{p+|f|}.
Agora analiso sinais:
  • O numerador -p|f| é negativo (produto de p>0, |f|>0 e o sinal negativo).
  • O denominador p+|f| é positivo (soma de duas quantidades positivas).
    Portanto q é negativo para qualquer p>0. Conclusão analítica: para um espelho convexo q<0 sempre, logo a imagem é sempre virtual (fica atrás do espelho), independentemente da posição P do objeto enquanto p>0.
Observação de borda: se p\to\infty (objeto no infinito), da fórmula q\to f. Como f<0, continua sendo virtual. Se p se aproxima de zero (objeto muito próximo do vértice), a fórmula prevê q\to 0 mantendo sinal adequado; fisicamente objetos exatamente sobre o espelho não são um caso prático, mas não há mudança de sinal.

Passo 6

Análise da ampliação (para reforçar as propriedades da imagem):
A ampliação linear m é dada por
m=-\frac{q}{p}.
Como acabamos de ver q<0, então -q>0 e assim m>0. Uma ampliação positiva significa que a imagem é erecta (não invertida). Substituo a expressão de q em termos de |f|:
q=-\frac{p|f|}{p+|f|}\quad\Rightarrow\quad m=-\frac{q}{p}=\frac{|f|}{p+|f|}.
Como p>0 e |f|>0, temos 0<m<1. Conclusão: a imagem é virtual, direita (não invertida) e reduzida em tamanho — essa é uma característica típica de espelhos convexos.

Passo 7

Teste numérico com valores arbitrários (condição específica):
Escolho valores fáceis: p=30\\ \mathrm{cm} (objeto a 30 cm na frente do espelho) e raio de curvatura R=20\\ \mathrm{cm}. Para espelho esférico f=R/2, e como o espelho é convexo tomo f=-\dfrac{R}{2}=-10\\ \mathrm{cm}.
Calculo q pela fórmula q=\dfrac{pf}{p-f}:
q=\frac{30\cdot(-10)}{30-(-10)}=\frac{-300}{40}=-7,5\\ \mathrm{cm}.
Isto confirma que q<0: a imagem está 7,5\\ \mathrm{cm} atrás do espelho (virtual). Calculo a ampliação:
m=-\frac{q}{p}=-\frac{-7,5}{30}=0,25.
Isto significa imagem erecta ( m>0 ) e com 25\% do tamanho do objeto (reduzida), como previsto.

Passo 8

Conclusão final, em palavras simples e motivadoras:
  • A demonstração analítica usou apenas a equação dos espelhos e a convenção de sinais: para espelhos convexos f<0 e para um objeto real p>0. A expressão q=\dfrac{pf}{p-f} leva diretamente a q<0 para todo p>0, portanto a imagem é sempre virtual.
  • O teste numérico com p=30\\ \mathrm{cm} e f=-10\\ \mathrm{cm} (conforme escolhi) deu q=-7,5\\ \mathrm{cm} e m=0,25, confirmando a conclusão geral.
  • Força aí — a ideia principal para a prova: identifique o sinal de f (convexo → f<0), use q=\dfrac{pf}{p-f} e verifique o sinal de q. Isso resolve rapidamente e sem mistério.

Resposta

A imagem é sempre virtual (isto é, q<0) para todo p>0. Exemplo: para p=30\\ \mathrm{cm} e R=20\\ \mathrm{cm} (logo f=-10\\ \mathrm{cm}) obtemos q=-7,5\\ \mathrm{cm} e m=0,25.

Exercícios relacionados