34.77 •• Você deseja usar uma lente com distância focal de 35,0 \mathrm{~cm} para produzir uma imagem real de um objeto, e a altura da imagem é duas vezes a altura do objeto. De que tipo de lente você precisa e onde o objeto deve ser colocado? (b) Suponha que você deseje uma imagem do mesmo objeto, com a mesma ampliação - de que tipo de lente você precisa e onde o objeto deve ser colocado?

Passo 1

O enunciado pede que usemos uma lente de distância focal f=35{,}0\\ \mathrm{cm} de modo a obter duas configurações diferentes, ambas com ampliação em módulo igual a 2.
O conteúdo que vamos precisar é:
– Equação das lentes finas:
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
– Relação de ampliação (altura da imagem sobre altura do objeto):
m=\frac{h_i}{h_o}=-\,\frac{d_i}{d_o}.

Passo 2

Para obter uma imagem real com \bigl|m\bigr|=2 precisamos de m=-2 (inversa e ampliada). Assim
-2 = -\,\frac{d_i}{d_o} \quad\Longrightarrow\quad d_i = 2\,d_o.
Substituindo na equação da lente:
\frac{1}{35{,}0} \;=\;\frac{1}{d_o}+\frac{1}{2\,d_o} \;=\;\frac{3}{2\,d_o} \quad\Longrightarrow\quad d_o=\frac{3}{2}\,f=1{,}5\times35{,}0=52{,}5\\ \mathrm{cm},
e
d_i=2\,d_o=105{,}0\\ \mathrm{cm}.
Logo precisamos de uma lente convergente e o objeto deve ficar a 52{,}5\\ \mathrm{cm} da lente para obter a imagem real invertida e com altura duas vezes maior.

Passo 3

Para obter uma imagem virtual (direta) com \bigl|m\bigr|=2 devemos ter m=+2. Da definição de m:
2 = -\,\frac{d_i}{d_o} \quad\Longrightarrow\quad d_i = -\,2\,d_o \quad(\text{\(d_i<0\) indica imagem virtual do mesmo lado do objeto}).
Na equação da lente:
\frac{1}{35{,}0} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{-2\,d_o} = \frac{1-1/2}{d_o} = \frac{1}{2\,d_o} \quad\Longrightarrow\quad d_o = \frac{f}{2}=17{,}5\\ \mathrm{cm},
e
d_i=-2\,d_o=-35{,}0\\ \mathrm{cm}.
Portanto também usamos uma lente convergente, mas colocamos o objeto a 17{,}5\\ \mathrm{cm} (dentro da distância focal) para gerar uma imagem virtual, direita e ampliada duas vezes.

Resposta

(a) Lente convergente ( f=+35{,}0\\ \mathrm{cm}), objeto a 52{,}5\\ \mathrm{cm} da lente, imagem real invertida e duas vezes maior.
(b) Lente convergente ( f=+35{,}0\\ \mathrm{cm}), objeto a 17{,}5\\ \mathrm{cm} da lente (dentro de f), imagem virtual direita e duas vezes maior.

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