Considere uma mistura homogênea de gases ideais monoatômicos inertes a temperatura absoluta T em um recipiente de volume V. Suponha que haja \nu_{1} mols do gás 1, \nu_{2} mols do gás 2, \ldots, \mathrm{e} \nu_{k} mols do gás k .
(a) Considerando a funçāo de partiçāo clássica deste sistema, derive sua equaçāo de estado, ou seja, encontre uma expressāo para sua pressāo média total \bar{p}.
(b) Como essa pressāo total \bar{p} do gás está relacionada à pressāo \bar{p}_{i} que o i-ésimo gás produziria se ele sozinho ocupasse todo o volume nessa temperatura?

Passo 1

O enunciado trata de uma mistura homogênea de k gases ideais monoatômicos não interagentes, com \nu_{i} mols do gás i, ocupando volume V à temperatura T. Queremos (a) obter a equação de estado, isto é, a pressão média total \bar p em função de \nu_i, V e T; e (b) relacionar \bar p com a pressão \bar p_i que o gás i produziria se ocupado sozinho todo o volume V à mesma temperatura.

Passo 2

Escrevemos a função de partição canônica da mistura como o produto das partições de cada espécie. Para o gás i com N_i=\nu_i N_A moléculas,
Z_i \;=\;\frac{1}{h^{3N_i}\,N_i!}\;V^{N_i}\;(2\pi m_i k_B T)^{\tfrac{3N_i}{2}},
onde m_i é a massa de cada átomo de i, k_B a constante de Boltzmann e h a constante de Planck. Logo
Z \;=\;\prod_{i=1}^k Z_i.

Passo 3

Para extrair a pressão usamos
\bar p \;=\;k_B T\;\bigl(\partial \ln Z/\partial V\bigr)_{T}\,.
Como em \ln Z só o fator V^{N_i} depende de V, temos
\ln Z \;=\;\sum_{i=1}^k \bigl[N_i\ln V+\text{constantes indep.\\ de }V\bigr] \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial \ln Z}{\partial V} =\sum_{i=1}^k\frac{N_i}{V}.

Passo 4

Substituindo em \bar p,
\bar p = k_B T\sum_{i=1}^k\frac{N_i}{V} =\frac{k_B T}{V}\sum_{i=1}^k N_i.
Como N_i=\nu_i N_A e R=N_A k_B, obtemos
\bar p =\frac{T}{V}\,\sum_{i=1}^k \nu_i N_A k_B =\frac{R T}{V}\sum_{i=1}^k \nu_i \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\bar pV = \bigl(\sum_{i=1}^k\nu_i\bigr)\,R\,T.}

Passo 5

Se considerarmos apenas o gás i ocupando o volume V à temperatura T, sua pressão seria
\bar p_i \;=\;\frac{\nu_i R T}{V}.
Logo a pressão total da mistura satisfaz
\boxed{\bar p = \sum_{i=1}^k \bar p_i},
o que é exatamente a lei de Dalton das pressões parciais.

Resposta

(a) \displaystyle \bar pV = \bigl(\sum_{i=1}^k\nu_i\bigr)\,R\,T.
(b) \displaystyle \bar p = \sum_{i=1}^k \bar p_i, com \bar p_i = \nu_iRT/V.

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