Considere uma mistura homogênea de gases ideais monoatômicos inertes a temperatura absoluta
em um recipiente de volume
. Suponha que haja
mols do gás
mols do gás
mols do gás k .
(a) Considerando a funçāo de partiçāo clássica deste sistema, derive sua equaçāo de estado, ou seja, encontre uma expressāo para sua pressāo média total
.
(b) Como essa pressāo total
do gás está relacionada à pressāo
que o i-ésimo gás produziria se ele sozinho ocupasse todo o volume nessa temperatura?
(a) Considerando a funçāo de partiçāo clássica deste sistema, derive sua equaçāo de estado, ou seja, encontre uma expressāo para sua pressāo média total
(b) Como essa pressāo total
Passo 1
O enunciado trata de uma mistura homogênea de
gases ideais monoatômicos não interagentes, com
mols do gás
, ocupando volume
à temperatura
. Queremos (a) obter a equação de estado, isto é, a pressão média total
em função de
,
e
; e (b) relacionar
com a pressão
que o gás
produziria se ocupado sozinho todo o volume
à mesma temperatura.
Passo 2
Escrevemos a função de partição canônica da mistura como o produto das partições de cada espécie. Para o gás
com
moléculas,
onde
é a massa de cada átomo de
,
a constante de Boltzmann e
a constante de Planck. Logo
Passo 3
Para extrair a pressão usamos
Como em
só o fator
depende de
, temos
Passo 4
Substituindo em
,
Como
e
, obtemos
Passo 5
Se considerarmos apenas o gás
ocupando o volume
à temperatura
, sua pressão seria
Logo a pressão total da mistura satisfaz
o que é exatamente a lei de Dalton das pressões parciais.
Resposta
(a)
(b) com
.
(b)