2^{\mathbf{a}} Questão ( \mathbf{2 , 5} pontos): Uma partícula de carga 1,0 \mathrm{C} está se movendo na presença de um campo magnético uniforme. Em certo instante, a velocidade da partícula é (1,0 \mathbf{i}+2,0 \mathbf{j}+3,0 k) \mathrm{m} / \mathrm{s} e a força magnética experimentada pela partícula é (2,0 \mathbf{i}-10 \mathbf{j}+6 \mathbf{k}) \mathrm{N}. As componentes x e y do campo magnético são iguais. Qual o vetor campo \mathbf{B}, sendo o módulo em Tesla?

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de carga q=1{,}0\\ \mathrm{C} com velocidade \mathbf{v}=(1{,}0\,\mathbf{i}+2{,}0\,\mathbf{j}+3{,}0\,\mathbf{k})\\ \mathrm{m/s} e força magnética \mathbf{F}=(2{,}0\,\mathbf{i}-10\,\mathbf{j}+6\,\mathbf{k})\\ \mathrm{N}. Pede-se o campo magnético \mathbf{B} sabendo que as componentes x e y de \mathbf{B} são iguais. O conteúdo usado aqui é a força de Lorentz
\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B},
e como q=1, basta resolver \mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{F}.

Passo 2

Vamos parametrizar \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z)\) com \(B_x=B_y=b\) e \(B_z=c\). O produto vetorial \(\mathbf{v}\times\mathbf{B}\) tem componentes \[\begin{cases} (\mathbf{v}\times\mathbf{B})_x = v_yB_z - v_zB_y,\\\ (\mathbf{v}\times\mathbf{B})_y = v_zB_x - v_xB_z,\\\ (\mathbf{v}\times\mathbf{B})_z = v_xB_y - v_yB_x. \end{cases}
Substituindo v=(1,2,3)\] e \(B=(b,b,c), igualamos a (2,-10,6).

Passo 3

Escrevendo as equações:
\begin{aligned} 2\,c - 3\,b &= 2, \quad(\text{componente }x)\\\\ 3\,b - 1\,c &= -10, \quad(\text{componente }y)\\\\ 1\,b - 2\,b &= 6. \quad(\text{componente }z) \end{aligned}
A terceira já dá
-b = 6 \quad\Longrightarrow\quad b = -6.

Passo 4

Com b=-6, a segunda equação vira
3(-6) - c = -10 \quad\Longrightarrow\quad -18 - c = -10 \quad\Longrightarrow\quad c = -8.
Verificando na primeira:
2(-8) - 3(-6) = -16 + 18 = 2,
que coincide com o valor exigido.

Passo 5

Logo
\mathbf{B} = (b,b,c) = (-6,-6,-8)\\ \mathrm{T}.
O módulo é
\|\mathbf{B}\| = \sqrt{(-6)^2+(-6)^2+(-8)^2} = \sqrt{36+36+64} = \sqrt{136} =2\sqrt{34}\\ \mathrm{T}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{B}=(-6\,,-6\,,-8)\\ \mathrm{T},\quad \|\mathbf{B}\|=2\sqrt{34}\\ \mathrm{T}.

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