Se f(x, y)=x^2-4 x y+y^3+4 y, ache os extremos locais e os pontos de sela de f. Resp.: (4,2) ponto de mínimo e (43, 23) ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa que a gente precisa achar os valores de fx = 0 e fy = 0 e onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero. Ou seja, resolver:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a fx = partial fpartial x = 2x - 4y :
fy = partial fpartial y = -4x + 3y^2 + 4
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar cada derivada a zero e resolver o sistema de equações:
2x - 4y = 0 -4x + 3y^2 + 4 = 0
Da primeira equação, podemos isolar 2x = 4y implies x = 2y :

Passo 5

Substituindo -4(2y) + 3y^2 + 4 = 0 -8y + 3y^2 + 4 = 0 3y^2 -8y +4 = 0 na segunda equação:
y = 8 pm raiz64 - 486 = 8 pm raiz166 = 8 pm 46
Essa é uma equação quadrática em y = 126 = 2 e y = 46 = 23 . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :

Passo 6

Agora, vamos achar os valores correspondentes de x = 2(2) = 4 :
  1. Para x = 2(23) = 43 :
  1. Para :
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 7

Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2 fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y fxy = partial^2 fpartial x partial y = -4
O discriminante D = fxxfyy - (fxy)^2 é dado por:

Passo 8

Vamos calcular fyy = 6(2) = 12 D = (2)(12) - (-4)^2 = 24 - 16 = 8 > 0 para cada ponto crítico:
  1. Para fyy = 6(23) = 4 D = (2)(4) - (-4)^2 = 8 - 16 = -8 < 0 :
Além disso, , então esse ponto é um mínimo local.
  1. Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os extremos locais e pontos de sela da função são:
  • : ponto de mínimo local
  • : ponto de sela

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