Se
, ache os extremos locais e os pontos de sela de
. Resp.:
ponto de mínimo e
ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa que a gente precisa achar os valores de
e
onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, resolver:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar cada derivada a zero e resolver o sistema de equações:
Da primeira equação, podemos isolar
:
Passo 5
Substituindo
na segunda equação:
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 6
Agora, vamos achar os valores correspondentes de
:
- Para
:
- Para
:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 7
Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Passo 8
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
- Para
:
Além disso,
, então esse ponto é um mínimo local.
- Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os extremos locais e pontos de sela da função
são:
-
: ponto de mínimo local -
: ponto de sela