Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
© h(t, x)=t-x^2t^2+3 x.

Passo 1

Temos a função h(t,x)=t-x^2t^2+3x. Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem partial hpartial t e partial hpartial x. O conteúdo aqui é derivadas parciais aplicando a regra do quociente.

Passo 2

Para uma função h=u/v, a regra do quociente em qualquer variável y é:
partial hpartial y=partial upartial y,v - u,partial vpartial yv^2
Aqui definimos
u(t,x)=t-x^2 e v(t,x)=t^2+3x.

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas de u e v em relação a t:
partial upartial t=1, partial vpartial t=2t
Substituindo na regra do quociente:
partial hpartial t=1cdot(t^2+3x)-(t-x^2)cdot2t(t^2+3x)^2 =-t^2+2tx^2+3x(t^2+3x)^2

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de u e v em relação a x:
partial upartial x=-2x, partial vpartial x=3
Substituindo na regra do quociente:
partial hpartial x=-2x,(t^2+3x)-(t-x^2)cdot3(t^2+3x)^2 =-2xt^2-3t-3x^2(t^2+3x)^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são
partial hpartial t=-t^2+2tx^2+3x(t^2+3x)^2
e
partial hpartial x=-2xt^2-3t-3x^2(t^2+3x)^2.

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