Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(őes) dada(s).
f(x, y, z)-2 x+6 y+10 z ; x^2+y^2+z^2-35

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y,z) = -2x + 6y + 10z sujeita à restrição x^2 + y^2 + z^2 = 35. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange, que nos diz para igualar o gradiente de f a um múltiplo do gradiente da restrição.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange L(x,y,z,lambda) = f(x,y,z) - lambda,g(x,y,z), onde g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-35. Precisamos resolver ∇ L=0, ou seja:
partial Lpartial x = -2 - 2lambda x = 0
partial Lpartial y = 6 - 2lambda y = 0
partial Lpartial z = 10 - 2lambda z = 0
partial Lpartial lambda = -(x^2+y^2+z^2-35) = 0

Passo 3

Das três primeiras equações isolamos: x = -tfrac1lambda, y = tfrac3lambda e z = tfrac5lambda.
Substituímos na restrição para achar lambda:
l(-tfrac1lambdar)^2 + l(tfrac3lambdar)^2 + l(tfrac5lambdar)^2 = 35
1 + 9 + 25lambda^2 = 35
35lambda^2 = 35 implies lambda^2 = 1 implies lambda = pm 1

Passo 4

Para lambda=1 obtemos o ponto crítico (-1,3,5) e para lambda=-1 obtemos (1,-3,-5).
Agora avaliamos f nesses pontos:
f(-1,3,5) = -2(-1) + 6cdot3 + 10cdot5 = 2 + 18 + 50 = 70
f(1,-3,-5) = -2(1) + 6(-3) + 10(-5) = -2 - 18 - 50 = -70

Passo 5

Então o valor máximo de f é 70 e o mínimo é -70.

Resposta

Máximo de 70 em (-1,3,5) e mínimo de -70 em (1,-3,-5).

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