É possível definir uma função em
menos o ponto
de forma que as suas curvas de nível sejam semiretas?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma função f definida em ℝ²{(0,0)} cujas curvas de nível sejam semirretas que saem da origem. O conteúdo principal envolve coordenadas polares e interpretação de nível=fixed.
Passo 2
Para “pegar” semirretas é natural usar coordenadas polares. Em polar, cada ponto (x,y)≠(0,0) é dado por (r,θ) com r>0 e θ = ângulo de (x,y) relativo ao eixo x. Nesta descrição, r e θ são variáveis independentes.
Semirretas que partem da origem correspondem exatamente a fixar um ângulo θ e deixar r variar em (0,+∞). Logo, curvas de nível do tipo θ = constante são semirretas.
Semirretas que partem da origem correspondem exatamente a fixar um ângulo θ e deixar r variar em (0,+∞). Logo, curvas de nível do tipo θ = constante são semirretas.
Passo 3
Basta então definir f em coordenadas polares por f(r,θ)=θ. Em termos de (x,y), uma forma prática é usar a função argumento complexo:
cujo valor f(x,y)=c fixa o ângulo c e, portanto, sua curva de nível é a semirreta de ângulo c.
Passo 4
Como o argumento não está definido em (0,0), o domínio naturalmente é ℝ²{(0,0)}, satisfazendo a condição do enunciado.
Resposta
Sim. Por exemplo, em coordenadas polares defina f(r,θ)=θ (ou em termos de (x,y), f(x,y)=Arg(x+iy)); cada nível f(x,y)=c é a semirreta θ=c.