Determinar o campo elétrico de uma distribuição de casca esférica de carga. Não utilizar a Lei de Gauss!
Passo 1
O enunciado pede para determinar o campo elétrico produzido por uma casca esférica carregada, com a restrição explícita de não usar a Lei de Gauss. Vou trabalhar com a forma padrão desse problema, que é a seguinte (essas são as informações que vou usar sem pedir nada a mais):
- A casca esférica tem raio
e está carregada com carga total uniformemente distribuída sobre a superfície. - Quer-se o campo elétrico
em um ponto a uma distância do centro da casca (casos e devem ser tratados). - Não usar a Lei de Gauss; portanto vou aplicar a lei de Coulomb por superposição (integrando contribuições de elementos de carga) ou integrar o potencial elétrico e depois obter
.
Passo 2
Resumo das ferramentas que vou usar e por que:
- A lei de Coulomb para potencial: o potencial elétrico escalar
criado por um elemento de carga é
onde
é a distância do elemento até o ponto onde se calcula o potencial e
é a permissividade do vácuo. O potencial total é a integral destas contribuições.
- Vantagem: como a casca é simétrica esfericamente, o potencial resultante será função somente de
(distância ao centro). Para potenciais com dependência radial só, o campo elétrico radial é
ou seja, para campos radiais basta derivar o potencial escalar em relação a
.
- Vou explicar cada passo da integral, mostrar como é feita a mudança de variável e avaliar separadamente os casos
e .
Passo 3
Escolha de coordenadas e expressão do elemento de carga:
- Usarei coordenadas esféricas centradas na casca. Seja
o ângulo polar medido a partir da direção que liga o centro da casca ao ponto de observação (escolhemos eixos de forma que o ponto observado esteja no eixo polar, isso usa a simetria). - A densidade superficial de carga uniforme é
, ligada a por
- Um elemento de área sobre a casca vale
logo o elemento de carga é
Passo 4
Escrevendo o potencial por integração sobre a superfície:
- A distância entre esse elemento e o ponto de observação é
- O potencial no ponto a distância
é
Passo 5
Executando a integral sobre
(simetria azimutal):
- A integranda não depende de
, então a integral em apenas dá um fator . Assim
Passo 6
Mudança de variável para simplificar a integral em
:
- Faço
. Então . Quando tem e quando tem . - A integral se transforma em
Passo 7
Avaliação explícita da integral em
:
- Denote
e . A integral é . - Uma primitiva é
pois . - Avaliando de
a :
- Simplificando as raízes:
- Portanto a integral vale
Passo 8
Concluir o potencial usando o resultado da integral:
- Substituindo na expressão de
:
- Agora trato os dois casos:
- Se
então , logo . Assim
Substituindo obtém-se - Se
então , logo . Assim
Substituindo dá que é constante (independe de ) dentro da casca. - Se
Passo 9
Obter o campo elétrico a partir do potencial:
- Para um potencial radial, o campo é
. - Para
: . Derivando,
Direção: radial para fora se
. Portanto
- Para
: é constante, então e
- No próprio ponto da superfície
há uma descontinuidade do módulo do campo: o campo fora vale e dentro vale zero; isso corresponde à superfície carregada (a componente normal tem salto ).
Passo 10
Interpretação física rápida e checagem:
- Para
o campo é exatamente o mesmo que o de uma carga pontual localizada no centro — isso é uma consequência direta da simetria e da integral que fizemos (sem usar Gauss). - Para
o campo é nulo porque as contribuições de todas as partes da casca se cancelam no interior — o potencial constante dentro é outra forma de ver esse cancelamento. - Pequena verificação de consistência usando
: as fórmulas obtidas podem ser escritas tanto em termos de quanto de .