4^{\mathrm{a}} Determinar o campo elétrico de uma distribuição de casca esférica de carga. Não utilizar a Lei de Gauss!

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo elétrico produzido por uma casca esférica carregada, com a restrição explícita de não usar a Lei de Gauss. Vou trabalhar com a forma padrão desse problema, que é a seguinte (essas são as informações que vou usar sem pedir nada a mais):
  • A casca esférica tem raio \,R e está carregada com carga total \,Q uniformemente distribuída sobre a superfície.
  • Quer-se o campo elétrico \mathbf{E} em um ponto a uma distância \,r do centro da casca (casos r<R e r>R devem ser tratados).
  • Não usar a Lei de Gauss; portanto vou aplicar a lei de Coulomb por superposição (integrando contribuições de elementos de carga) ou integrar o potencial elétrico e depois obter \mathbf{E}.

Passo 2

Resumo das ferramentas que vou usar e por que:
  • A lei de Coulomb para potencial: o potencial elétrico escalar \varphi(\mathbf{r}) criado por um elemento de carga dQ é
d\varphi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dQ}{\ell},
onde \ell é a distância do elemento até o ponto onde se calcula o potencial e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. O potencial total é a integral destas contribuições.
  • Vantagem: como a casca é simétrica esfericamente, o potencial resultante será função somente de r (distância ao centro). Para potenciais com dependência radial só, o campo elétrico radial é
\mathbf{E}(r) = -\frac{d\varphi}{dr}\,\hat{\mathbf{r}},
ou seja, para campos radiais basta derivar o potencial escalar em relação a r.
  • Vou explicar cada passo da integral, mostrar como é feita a mudança de variável e avaliar separadamente os casos r>R e r<R.

Passo 3

Escolha de coordenadas e expressão do elemento de carga:
  • Usarei coordenadas esféricas centradas na casca. Seja \theta' o ângulo polar medido a partir da direção que liga o centro da casca ao ponto de observação (escolhemos eixos de forma que o ponto observado esteja no eixo polar, isso usa a simetria).
  • A densidade superficial de carga uniforme é \sigma, ligada a Q por
\sigma=\frac{Q}{4\pi R^{2}}.
  • Um elemento de área sobre a casca vale
dA = R^{2}\sin\theta'\,d\theta'\,d\varphi,
logo o elemento de carga é
dQ=\sigma\,dA=\sigma R^{2}\sin\theta'\,d\theta'\,d\varphi.

Passo 4

Escrevendo o potencial por integração sobre a superfície:
  • A distância entre esse elemento e o ponto de observação é
\ell=\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta'}.
  • O potencial no ponto a distância r é
\varphi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iint_{\text{casca}}\frac{dQ}{\ell} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\frac{\sigma R^{2}\sin\theta'\,d\theta'\,d\varphi}{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta'}}.

Passo 5

Executando a integral sobre \varphi (simetria azimutal):
  • A integranda não depende de \varphi, então a integral em \varphi apenas dá um fator 2\pi. Assim
\varphi(r)=\frac{\sigma R^{2}}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 2\pi\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta'\,d\theta'}{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta'}} =\frac{\sigma R^{2}}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta'\,d\theta'}{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta'}}.

Passo 6

Mudança de variável para simplificar a integral em \theta':
  • Faço u=\cos\theta'. Então du=-\sin\theta'\,d\theta'. Quando \theta'=0 tem u=1 e quando \theta'=\pi tem u=-1.
  • A integral se transforma em
\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\theta'\,d\theta'}{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR\cos\theta'}} =\int_{1}^{-1}\frac{-du}{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR u}} =\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR u}}.

Passo 7

Avaliação explícita da integral em u:
  • Denote a=r^{2}+R^{2} e b=2rR. A integral é \int_{-1}^{1}\dfrac{du}{\sqrt{a-bu}}.
  • Uma primitiva é -\dfrac{2}{b}\sqrt{a-bu} pois \dfrac{d}{du}\sqrt{a-bu}=-\dfrac{b}{2\sqrt{a-bu}}.
  • Avaliando de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{a-bu}} =-\frac{2}{b}\Big[\sqrt{a-bu}\Big]_{-1}^{1} =-\frac{2}{2rR}\big(\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR}-\sqrt{r^{2}+R^{2}+2rR}\big).
  • Simplificando as raízes:
\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR}=|r-R|,\qquad \sqrt{r^{2}+R^{2}+2rR}=r+R.
  • Portanto a integral vale
\int_{-1}^{1}\frac{du}{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2rR u}} =\frac{r+R-|r-R|}{rR}.

Passo 8

Concluir o potencial usando o resultado da integral:
  • Substituindo na expressão de \varphi(r):
\varphi(r)=\frac{\sigma R^{2}}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{r+R-|r-R|}{rR} =\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{r+R-|r-R|}{r}.
  • Agora trato os dois casos:
    • Se r>R então |r-R|=r-R, logo r+R-(r-R)=2R. Assim
    \varphi(r)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{2R}{r}=\frac{\sigma R^{2}}{\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r}.Substituindo \sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^{2}} obtém-se \varphi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}\qquad(r>R).
    • Se r<R então |r-R|=R-r, logo r+R-(R-r)=2r. Assim
    \varphi(r)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{2r}{r}=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}.Substituindo \sigma \varphi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}\qquad(r<R),que é constante (independe de r) dentro da casca.

Passo 9

Obter o campo elétrico a partir do potencial:
  • Para um potencial radial, o campo é \mathbf{E}(r)=-\dfrac{d\varphi}{dr}\,\hat{\mathbf{r}}.
  • Para r>R: \varphi(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r}. Derivando,
E_r(r)=-\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}}.
Direção: radial para fora se Q>0. Portanto
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\qquad(r>R).
  • Para r<R: \varphi(r) é constante, então d\varphi/dr=0 e
\mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\qquad(r<R).
  • No próprio ponto da superfície r=R há uma descontinuidade do módulo do campo: o campo fora vale \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^{2}} e dentro vale zero; isso corresponde à superfície carregada (a componente normal tem salto \sigma/\varepsilon_0).

Passo 10

Interpretação física rápida e checagem:
  • Para r>R o campo é exatamente o mesmo que o de uma carga pontual Q localizada no centro — isso é uma consequência direta da simetria e da integral que fizemos (sem usar Gauss).
  • Para r<R o campo é nulo porque as contribuições de todas as partes da casca se cancelam no interior — o potencial constante dentro é outra forma de ver esse cancelamento.
  • Pequena verificação de consistência usando Q=\sigma 4\pi R^{2}: as fórmulas obtidas podem ser escritas tanto em termos de \sigma quanto de Q.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\quad\text{para }r<R
\displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\quad\text{para }r>R

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