-34 Um disco de 2,5 \mathrm{~cm} de raio possui uma densidade superficial de carga de 5,3 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} na superfície superior. Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto do eixo central situado a uma distância z=12 \mathrm{~cm} do centro do disco?
-35 A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado com 0,600 \mathrm{~m} de raio o módulo do campo elétrico é igual a metade do módulo do campo no centro do disco?

Passo 1

O enunciado traz dois itens sobre o campo elétrico no eixo de um disco uniformemente carregado. No item 34, temos um disco de raio R=2,5\:\mathrm{cm} com densidade superficial de carga \sigma=5,3\:\mu\mathrm{C/m^2} e queremos o módulo do campo a z=12\:\mathrm{cm}. No item 35, é dado um disco de raio R=0,600\:\mathrm{m} uniformemente carregado e pede‐se a distância z ao longo do eixo para a qual o campo é metade do valor no centro. O conteúdo é o cálculo do campo no eixo de um disco carregado e vamos usar a fórmula
E(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\Bigl[1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr].

Passo 2

Derivamos rapidamente a expressão do campo: considere o disco como um empilhamento de anéis de carga. Cada anel de raio r e espessura dr contribui com
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{(2\pi r\,\sigma\,dr)\,z}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}},
e integrando de r=0 a r=R obtemos
E(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\Bigl[1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr].

Passo 3

Aplicando ao item 34: convertemos para metros e SI: \displaystyle R=0,025\:\mathrm{m}, \displaystyle z=0,12\:\mathrm{m}, \displaystyle \sigma=5,3\times10^{-6}\:\mathrm{C/m^2}, \displaystyle \varepsilon_{0}=8,854\times10^{-12}\:\mathrm{F/m}.
Calculamos
\sqrt{z^{2}+R^{2}} =\sqrt{(0,12)^{2}+(0,025)^{2}} \approx0,1226\:\mathrm{m},
1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}} =1-\frac{0,12}{0,1226}\approx0,0208,
E(0,12) =\frac{5,3\times10^{-6}}{2\times8,854\times10^{-12}}\times0,0208 \approx6{,}23\times10^{3}\:\mathrm{N/C}.

Passo 4

No item 35 queremos E(z)=\tfrac12E(0). Como
E(0)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}},
pedimos
\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\Bigl[1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr] =\frac12\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \;\Longrightarrow\; 1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\tfrac12 \;\Longrightarrow\; \frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\tfrac12.
Elevando ao quadrado:
\frac{z^{2}}{z^{2}+R^{2}}=\frac14 \;\Longrightarrow\; 4z^{2}=z^{2}+R^{2} \;\Longrightarrow\; 3z^{2}=R^{2} \;\Longrightarrow\; z=\frac{R}{\sqrt{3}}.
Com R=0,600\:\mathrm{m} vem
z=\frac{0,600}{\sqrt{3}}\approx0,346\:\mathrm{m}.

Resposta

  1. \displaystyle 6{,}23\times10^{3}\:\mathrm{N/C}.
  2. \displaystyle z=\frac{R}{\sqrt3}\approx0,346\:\mathrm{m}.

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