Considere os dois vetores
\vec{u}=(2,1,-3) \text { e } \vec{v}=(1,0,-2) .
(a) Escreva os vetores na notação dos versores. (b) Calcule os módulos \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|. (c) Calcule \vec{u}+\vec{v} e escreva o resultado em notação de versores. (d) Determine as componentes do vetor resultante de -2 \vec{u}+3 \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3,
\vec{u}=(2,1,-3)
e
\vec{v}=(1,0,-2),
e pede quatro coisas:
a) escrevê-los na notação de versores \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k},
b) calcular seus módulos \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|,
c) somá-los e escrever o resultado em notação de versores,
d) formar o vetor -2\vec{u}+3\vec{v} e dar suas componentes.

Passo 2

Para a parte (a) usamos que a correspondência entre coordenadas e versores é
(x,y,z)\longleftrightarrow x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k}.
Logo,
\vec{u}=2\,\hat{\imath}+1\,\hat{\jmath}-3\,\hat{k},
\vec{v}=1\,\hat{\imath}+0\,\hat{\jmath}-2\,\hat{k}.

Passo 3

Para a parte (b) lembramos a fórmula do módulo de (x,y,z):
\|(x,y,z)\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Assim,
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14},
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}.

Passo 4

Para a parte (c) somamos coordenada a coordenada:
\vec{u}+\vec{v}=(2+1,\;1+0,\;-3+(-2))=(3,1,-5).
Em notação de versores,
\vec{u}+\vec{v}=3\,\hat{\imath}+1\,\hat{\jmath}-5\,\hat{k}.

Passo 5

Para a parte (d) calculamos
-2\vec{u}+3\vec{v}=-2\,(2,1,-3)+3\,(1,0,-2).
Distribuindo,
-2\vec{u}=(-4,-2,6), \quad 3\vec{v}=(3,0,-6).
Somando,
-2\vec{u}+3\vec{v}=(-4+3,\,-2+0,\,6+(-6))=(-1,-2,0).

Resposta

(a) \vec{u}=2\,\hat{\imath}+\hat{\jmath}-3\,\hat{k},\quad \vec{v}=\hat{\imath}-2\,\hat{k}.
(b) \|\vec{u}\|=\sqrt{14},\quad \|\vec{v}\|=\sqrt{5}.
(c) \vec{u}+\vec{v}=3\,\hat{\imath}+\hat{\jmath}-5\,\hat{k}.
(d) -2\vec{u}+3\vec{v}=(-1,-2,0).

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