34- Uma fábrica de refrigerantes utiliza uma máquina que rotula 2.000 garrafas em 5 dias, funcionando 8 horas por dia. Em quantos dias essa mesma máquina rotulará 6.000 garrafas, funcionando 12 horas por dia?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pergunta claramente:
  • Dados fornecidos:
    • A máquina rotula 2000 garrafas em 5 dias, funcionando 8 horas por dia.
    • Queremos saber em quantos dias a mesma máquina rotulará 6000 garrafas, funcionando 12 horas por dia.
  • O que é pedido:
    • Determinar o número de dias d necessários para rotular 6000 garrafas com 12 horas de trabalho por dia, mantendo a mesma eficiência da máquina.

Passo 2

Estratégia e definição de variáveis — vou explicar a ideia de forma bem clara.
  • Ideia: a produção total de garrafas depende de quantas horas a máquina trabalha e de quantas garrafas ela rotula por hora (taxa constante).
  • Definições:
    • B = número de garrafas rotuladas.
    • d = número de dias de trabalho.
    • h = horas de trabalho por dia.
    • R = taxa da máquina em garrafas por hora (constante).
  • Relação básica: a quantidade de garrafas é dada por
B = R \cdot d \cdot h.
Isto significa: garrafas por hora ( R) vezes número total de horas ( d\cdot h).

Passo 3

Calcular a taxa R usando os dados iniciais.
  • Primeiro calcule o total de horas trabalhadas no caso inicial:
T_1 = 5 \cdot 8 = 40\\ \text{horas}.
  • Como nessas 40 horas a máquina rotulou 2000 garrafas, a taxa R é
R=\frac{2000}{40}=50\\ \text{garrafas por hora}.
Explicação: dividir o total de garrafas pelo total de horas dá quantas garrafas são rotuladas em uma hora.

Passo 4

Calcular quantas horas totais são necessárias para rotular 6000 garrafas com a mesma taxa.
  • Se a máquina faz 50 garrafas por hora, o número de horas T_2 para 6000 garrafas é
T_2=\frac{6000}{50}=120\\ \text{horas}.
Explicação: dividir o total desejado pela taxa por hora dá o total de horas necessárias.

Passo 5

Converter o total de horas em dias, usando que agora se trabalha 12 horas por dia.
  • Número de dias d necessário:
d=\frac{T_2}{12}=\frac{120}{12}=10\\ \text{dias}.
Explicação: dividir as horas totais pelo número de horas trabalhadas por dia dá o número de dias.

Passo 6

Verificação alternativa (proporção direta) — um jeito curto que costuma aparecer em provas.
  • A produção é proporcional ao produto d\cdot h. Montando a proporção entre os dois cenários:
\frac{2000}{5\cdot 8}=\frac{6000}{d\cdot 12}.
  • Resolvendo para d:
\frac{2000}{40}=\frac{6000}{12d}\quad\Rightarrow\quad 50=\frac{6000}{12d}\quad\Rightarrow\quad 12d=\frac{6000}{50}=120\quad\Rightarrow\quad d=10.
Resultado consistente com os cálculos anteriores.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: a máquina precisa do mesmo tempo total em horas proporcional à produção; como triplicou a produção de 2000 para 6000 e as horas por dia aumentaram de 8 para 12, no fim o número de dias caiu para 10. Vai dar certo na prova — respira e confia no raciocínio de taxa por hora.

Resposta

10 dias

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