Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^{\prime \prime}+y=\delta(t-2 \pi), \quad y(0)=10, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos.
  • Enunciado: resolver a EDO
y''+y=\delta(t-2\pi), \qquad y(0)=10,\qquad y'(0)=0.
  • Pergunta implícita: encontrar a solução para todo t, representar graficamente e discutir o comportamento da solução.
  • Informações relevantes dadas:
    • Força externa é um impulso idealizado (delta de Dirac) aplicado em t=2\pi.
    • Condições iniciais em t=0: y(0)=10 e y'(0)=0.
    • A equação linear homogênea associada é y''+y=0.
  • Observação importante (a partir do enunciado): a presença de \delta(t-2\pi) sugere que a solução será a solução homogênea salvo um “salto” no comportamento instantâneo em t=2\pi. A equação é do tipo oscilador harmônico forçado por um impulso.

Passo 2

Entendendo o papel de \delta(t-2\pi) e derivando a condição de descontinuidade para y'.
  • O delta de Dirac \delta(t-2\pi) é uma distribuição que é zero para t\neq 2\pi e integra para 1 sobre qualquer intervalo contendo 2\pi. Ele representa um impulso instantâneo aplicado no tempo t=2\pi.
  • Para ver o efeito do impulso sobre y e y', integra-se a equação sobre um intervalo pequeno ao redor de t=2\pi. Seja \varepsilon>0 pequeno; integro de 2\pi-\varepsilon até 2\pi+\varepsilon:
\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} (y''+y)\,dt = \int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} \delta(t-2\pi)\,dt.
  • O lado direito vale 1 para qualquer \varepsilon>0 pequeno. No lado esquerdo:
\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} y''\,dt + \int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} y\,dt.
A primeira integral é y'(2\pi+\varepsilon)-y'(2\pi-\varepsilon). A segunda integral tende a zero quando \varepsilon\to0 porque y é limitada (produto de pequena largura por valor limitado). Assim, tomando o limite \varepsilon\to0,
y'(2\pi^+)-y'(2\pi^-)=1.
  • Conclusões essenciais:
    • y é contínua em t=2\pi (não há termo \delta' para produzir salto em y).
    • y' tem um salto de magnitude 1 em t=2\pi:
    y'(2\pi^+)=y'(2\pi^-)+1.

Passo 3

Resolver a equação homogênea para 0\le t<2\pi (antes do impulso) com as condições iniciais.
  • Para t\neq 2\pi a força é zero, então consideramos a homogênea
y''+y=0.
  • A solução geral dessa homogênea é
y(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
  • Usando y(0)=10 e y'(0)=0:
    • y(0)=A\cos0 + B\sin0 = A = 10.
    • Derivando, y'(t)=-A\sin t + B\cos t. Em t=0: y'(0)=B=0.
  • Logo, para 0\le t<2\pi,
y(t)=10\cos t.

Passo 4

Avaliar y e y' imediatamente antes do impulso ( t=2\pi^-).
  • Usando a solução do Passo 3:
    • y(2\pi^-)=10\cos(2\pi)=10.
    • y'(t)=-10\sin t, então y'(2\pi^-)= -10\sin(2\pi)=0.
  • Portanto, imediatamente antes do impulso:
y(2\pi^-)=10,\qquad y'(2\pi^-)=0.

Passo 5

Aplicar a condição de salto no instante t=2\pi para obter as condições iniciais após o impulso.
  • Do Passo 2 sabemos que
y'(2\pi^+)=y'(2\pi^-)+1.
  • Substituindo y'(2\pi^-)=0 do Passo 4,
y'(2\pi^+)=1.
  • Como y é contínua,
y(2\pi^+)=y(2\pi^-)=10.
  • Então as “condições iniciais” para a solução em t>2\pi são y(2\pi)=10 e y'(2\pi)=1.

Passo 6

Resolver a homogênea para t>2\pi usando as condições em t=2\pi^+.
  • Para t>2\pi novamente a equação é homogênea y''+y=0. A solução geral é
y(t)=C\cos t + D\sin t.
  • Impor as condições em t=2\pi:
    • y(2\pi)=C\cos(2\pi)+D\sin(2\pi)=C=10 \implies C=10.
    • y'(t)=-C\sin t + D\cos t. Em t=2\pi: y'(2\pi)=D=1 \implies D=1.
  • Portanto, para t>2\pi,
y(t)=10\cos t + \sin t.

Passo 7

Escrever a solução completa (peça por peça) e mostrar a forma com a função degrau (Heaviside) e a função de Green.
  • Solução em forma peça a peça:
y(t)=\begin{cases} 10\cos t, & 0\le t<2\pi,\\[4pt] 10\cos t + \sin t, & t>2\pi. \end{cases}
  • Podemos escrever de forma compacta usando a função de Heaviside H(t-2\pi):
y(t)=10\cos t + H(t-2\pi)\,\sin(t-2\pi).
Observação: \sin(t-2\pi)=\sin t, então a expressão coincide com a forma peça por peça.
  • Interpretação via função de Green: para o operador L[y]=y''+y com condições causais, a resposta ao impulso unitário aplicado em t_0 é G(t-t_0)=\sin(t-t_0)\,H(t-t_0). Assim a solução é a soma da solução livre (imposta pelas condições iniciais) mais G(t-2\pi).]

Passo 8

Análise qualitativa e discussão física/matemática da solução (comportamento, continuidade, energia, fase, amplitude).
  • Continuidade e salto:
    • y é contínua em t=2\pi: y(2\pi^-)=y(2\pi^+)=10.
    • y' tem salto unitário: y'(2\pi^-) = 0 e y'(2\pi^+) = 1.
  • Interpretação física (oscilador harmônico):
    • Antes do impulso o sistema oscila com amplitude 10 e fase tal que a velocidade é zero em t=0; a solução é 10\cos t.
    • O impulso em t=2\pi fornece um “impulso de velocidade” de magnitude 1, instantaneamente mudando a velocidade. Depois do impulso a oscilação resultante é a superposição de 10\cos t com \sin t — isto é, há uma pequena componente em quadratura (fase) adicionada.
  • Amplitude e fase após o impulso:
    • Para t>2\pi, y(t)=10\cos t + \sin t. Isso pode ser reescrito como um cosseno com amplitude e defasagem:
    y(t)=R\cos(t-\varphi),onde R=\sqrt{10^2+1^2}=\sqrt{101}, \qquad \varphi=\arctan\!\left(\frac{1}{10}\right).
    • Numericamente, R=\sqrt{101}\approx 10{,}0499 e \varphi\approx 0{,}0996687\\ \text{rad}\approx 5{,}715^\circ.
    • Observação: o impulso aumentou ligeiramente a amplitude e deslocou a fase da oscilação. A alteração é pequena porque o impulso foi pequeno comparado à amplitude inicial.
  • Energia (ideia):
    • A energia do oscilador livre é proporcional a y^2+(y')^2. O impulso introduz energia instantaneamente porque aumenta y' de 0 para 1. Assim a energia total após o impulso é maior (aumento finito devido ao salto em y').
  • Periodicidade:
    • A solução continua sendo periódica com período 2\pi (mesma frequência natural), porque não há amortecimento nem força periódica; o impulso apenas altera as constantes da combinação linear de \cos t e \sin t.

Passo 9

Como representar graficamente (instruções práticas e características do gráfico).
  • O gráfico de y(t) para t em [0,4\pi] por exemplo terá:
    • De 0 a 2\pi: uma cópia de 10\cos t (máximo +10 em t=0, cruza zero em t=\pi/2, mínimo -10 em t=\pi, volta a +10 em t=2\pi).
    • Em t=2\pi: valor 10, derivada salta de 0 para 1. No gráfico de y(t) a curva é contínua mas a tangente muda subitamente.
    • Para t>2\pi: uma oscilação muito parecida com a anterior, ligeiramente deslocada em fase e com amplitude R=\sqrt{101}.
  • Código exemplo (rápido) para plotar em Python/matplotlib:
\text{(não é executado aqui, é só para usar no computador):}ãééó
\begin{aligned} &\texttt{import numpy as np}\\\ &\texttt{import matplotlib.pyplot as plt}\\\ &\texttt{t = np.linspace(0,4*np.pi,1000)}\\\ &\texttt{y = 10*np.cos(t) + (t>2*np.pi)*np.sin(t-2*np.pi)}\\\ &\texttt{plt.plot(t,y); plt.axvline(2*np.pi,color='k',linestyle='--'); plt.xlabel('t'); plt.ylabel('y(t)'); plt.grid(True); plt.show()} \end{aligned}
  • No gráfico, desenhar uma linha vertical pontilhada em t=2\pi ajuda a visualizar o instante do impulso. Ver-se-á continuidade em y e mudança de inclinação.

Resposta

y(t)=\begin{cases} 10\cos t, & 0\le t<2\pi,\\[4pt] 10\cos t + \sin t, & t>2\pi, \end{cases}
\text{equivalentemente: } \; y(t)=10\cos t + H(t-2\pi)\,\sin(t-2\pi).]

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