Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos.
- Enunciado: resolver a EDO
- Pergunta implícita: encontrar a solução para todo
, representar graficamente e discutir o comportamento da solução. - Informações relevantes dadas:
- Força externa é um impulso idealizado (delta de Dirac) aplicado em
. - Condições iniciais em
: e . - A equação linear homogênea associada é
.
- Força externa é um impulso idealizado (delta de Dirac) aplicado em
- Observação importante (a partir do enunciado): a presença de
sugere que a solução será a solução homogênea salvo um “salto” no comportamento instantâneo em . A equação é do tipo oscilador harmônico forçado por um impulso.
Passo 2
Entendendo o papel de
e derivando a condição de descontinuidade para
.
- O delta de Dirac
é uma distribuição que é zero para e integra para sobre qualquer intervalo contendo . Ele representa um impulso instantâneo aplicado no tempo . - Para ver o efeito do impulso sobre
e , integra-se a equação sobre um intervalo pequeno ao redor de . Seja pequeno; integro de até :
- O lado direito vale
para qualquer pequeno. No lado esquerdo:
A primeira integral é
. A segunda integral tende a zero quando
porque
é limitada (produto de pequena largura por valor limitado). Assim, tomando o limite
,
- Conclusões essenciais:
-
é contínua em (não há termo para produzir salto em ). -
tem um salto de magnitude em :
-
Passo 3
Resolver a equação homogênea para
(antes do impulso) com as condições iniciais.
- Para
a força é zero, então consideramos a homogênea
- A solução geral dessa homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
- Usando
e : -
. - Derivando,
. Em : .
-
- Logo, para
,
Passo 4
Avaliar
e
imediatamente antes do impulso (
).
- Usando a solução do Passo 3:
-
. -
, então .
-
- Portanto, imediatamente antes do impulso:
Passo 5
Aplicar a condição de salto no instante
para obter as condições iniciais após o impulso.
- Do Passo 2 sabemos que
- Substituindo
do Passo 4,
- Como
é contínua,
- Então as “condições iniciais” para a solução em
são e .
Passo 6
Resolver a homogênea para
usando as condições em
.
- Para
novamente a equação é homogênea . A solução geral é
- Impor as condições em
: -
. -
. Em : .
-
- Portanto, para
,
Passo 7
Escrever a solução completa (peça por peça) e mostrar a forma com a função degrau (Heaviside) e a função de Green.
- Solução em forma peça a peça:
- Podemos escrever de forma compacta usando a função de Heaviside
:
Observação:
, então a expressão coincide com a forma peça por peça.
- Interpretação via função de Green: para o operador
com condições causais, a resposta ao impulso unitário aplicado em é . Assim a solução é a soma da solução livre (imposta pelas condições iniciais) mais .]
Passo 8
Análise qualitativa e discussão física/matemática da solução (comportamento, continuidade, energia, fase, amplitude).
- Continuidade e salto:
-
é contínua em : . -
tem salto unitário: e .
-
- Interpretação física (oscilador harmônico):
- Antes do impulso o sistema oscila com amplitude
e fase tal que a velocidade é zero em ; a solução é . - O impulso em
fornece um “impulso de velocidade” de magnitude , instantaneamente mudando a velocidade. Depois do impulso a oscilação resultante é a superposição de com — isto é, há uma pequena componente em quadratura (fase) adicionada.
- Antes do impulso o sistema oscila com amplitude
- Amplitude e fase após o impulso:
- Para
, . Isso pode ser reescrito como um cosseno com amplitude e defasagem:
onde - Numericamente,
e . - Observação: o impulso aumentou ligeiramente a amplitude e deslocou a fase da oscilação. A alteração é pequena porque o impulso foi pequeno comparado à amplitude inicial.
- Para
- Energia (ideia):
- A energia do oscilador livre é proporcional a
. O impulso introduz energia instantaneamente porque aumenta de para . Assim a energia total após o impulso é maior (aumento finito devido ao salto em ).
- A energia do oscilador livre é proporcional a
- Periodicidade:
- A solução continua sendo periódica com período
(mesma frequência natural), porque não há amortecimento nem força periódica; o impulso apenas altera as constantes da combinação linear de e .
- A solução continua sendo periódica com período
Passo 9
Como representar graficamente (instruções práticas e características do gráfico).
- O gráfico de
para em por exemplo terá: - De
a : uma cópia de (máximo em , cruza zero em , mínimo em , volta a em ). - Em
: valor , derivada salta de para . No gráfico de a curva é contínua mas a tangente muda subitamente. - Para
: uma oscilação muito parecida com a anterior, ligeiramente deslocada em fase e com amplitude .
- De
- Código exemplo (rápido) para plotar em Python/matplotlib:
- No gráfico, desenhar uma linha vertical pontilhada em
ajuda a visualizar o instante do impulso. Ver-se-á continuidade em e mudança de inclinação.