34 Uma pequena partícula esférica de massa m= 2.0 g e carga q=+3.0 mu C é liberada do repouso a uma altura h=1.5 m acima de uma placa horizontal infinita, plana e uniformemente carregada com uma densidade superficial de carga negativa sigma=-1.2 times 10^-6 C / m^2. Considere que as únicas forças que atuam sobre a partícula são a força gravitacional e a força elétrica devido à placa e que a energia potencial gravitacional é considerada zero na superfície da placa. (a) Determine a velocidade da partícula imediatamente antes de atingir a placa, utilizando o princípio da conservação da energia. (b) Suponha agora que a partícula possua uma carga negativa de mesmo módulo. Descreva qualitativamente seu movimento e diga se ela ainda atingiria a placa.

Passo 1

Temos uma partícula de massa m = 2,0 g e carga q = +3,0 μC liberada do repouso a h = 1,5 m acima de uma placa infinita com densidade superficial σ = −1,2×10⁻⁶ C/m². O conteúdo envolvido é campo elétrico de placa infinita e conservação de energia mecânica.

Passo 2

O campo elétrico gerado por uma placa infinita uniformemente carregada tem módulo
E = |sigma|2,epsilon0
Como σ é negativa, o campo aponta em direção à placa (para baixo).
A energia potencial gravitacional é
Ug = m g h
e a energia potencial elétrica de uma carga q em campo constante E a uma altura h é
Ue = q E h
Pela conservação da energia mecânica, partindo do repouso:
tfrac12 m v^2 = Ug + Ue = m g h + q E h
Logo
v = raiz2(m g h + q E h)m = raiz2gh + 2qE hm

Passo 3

Substituindo valores: m = 0,002 kg, g = 9,8 m/s², h = 1,5 m, q = 3,0×10⁻⁶ C, |σ| = 1,2×10⁻⁶ C/m² e ε₀ = 8,85×10⁻¹² C²/(N·m²), obtemos
E = 1,2×10^-62·8,85×10^-12 approx 6,78×10^4,N/C
v = raiz2·9,8·1,5 + 2·3,0×10^-6·6,78×10^4·1,50,002 approx 18,3,m/s

Passo 4

Se a carga fosse q = −3,0 μC, a força elétrica F_e = qE apontaria para cima com módulo qE ≈ 0,203 N, enquanto o peso mg ≈ 0,0196 N aponta para baixo. A resultante fica para cima, então a partícula acelera para longe da placa e não a atinge.

Resposta

v approx 18,3,m/s; para carga negativa, a partícula é repelida e não atinge a placa.

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