Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
ll integral0^4 d x1+raizx & x=t^2 ; integral3^29 (x-2)^2 / 3 d x(x-2)^2 / 3+3 & x-2=z^3 ; integral0^ln 2 raize^x-1 d x & e^x-1=z^2 ; integral0^pi d t3+2 cos t & tan (t2)=z ; integral0^pi / 2 d x1+a^2 sen^2 x & tan x=t

Passo 1

O enunciado pede para calcular cinco integrais definidas usando substituições específicas. O conteúdo aqui é integração por substituição, onde vamos trocar a variável original por uma nova (t, z) simplificando o integrando e ajustando limites.

Passo 2

Para I1=integral0^4dx1+raizx com x=t^2: fazemos dx=2t,dt, quando x=0to t=0, x=4to t=2. A integral vira
I1=integral0^22t1+t,dt=2integral0^2l(1-11+tr)dt=2l[t-ln(1+t)r]0^2=4-2ln3

Passo 3

Para I2=integral3^29(x-2)^2/3(x-2)^2/3+3,dx com x-2=z^3: temos dx=3z^2dz, limites x=3to z=1, x=29to z=3, e (x-2)^2/3=z^2. Então
I2=3integral1^3z^4z^2+3,dz =3integral1^3l(z^2-3+9z^2+3r)dz
Integramos:
3l[z^33-3z+91raiz3arctanzraiz3r]1^3 =l[ z^3-9z+9raiz3arctan(tfrac zraiz3)r]1^3 =tfrac32piraiz3+8

Passo 4

Para I3=integral0^ln2raize^x-1,dx com e^x-1=z^2: vem e^x dx=2z dz e dx=2z/(z^2+1)dz. Limites: x=0to z=0, x=ln2to z=1. Então
I3=integral0^1zcdot2zz^2+1dz=2integral0^1z^21+z^2dz=2integral0^1l(1-11+z^2r)dz=2l[z-arctan zr]0^1=2-pi2

Passo 5

Para I4=integral0^pidt3+2cos t com z=tan t2: temos dt=2dz/(1+z^2) e cos t=(1-z^2)/(1+z^2). Assim
I4=2integral0^inftydz5+z^2=2cdot1raiz5l[arctan zraiz5r]0^infty=piraiz5

Passo 6

Para I5=integral0^pi/2dx1+a^2sin^2x com t=tan x: então dx=dt/(1+t^2) e sin^2x=t^2/(1+t^2). Isso leva a
I5=integral0^inftydt1+(1+a^2)t^2=1raiz1+a^2l[arctanl(traiz1+a^2r)r]0^infty=pi2raiz1+a^2

Resposta

I1=4-2ln3, I2=tfrac32piraiz3+8, I3=2-pi2, I4=piraiz5, I5=pi2raiz1+a^2

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