Seja o campo F(x, y, z)=(e^z+5 y^33, e^z-5 x^33, 2 x z+2 y z).
Determine integralC F cdot d r, onde C é a curva dada pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 e o plano x+y+z=1. Oriente a curva de forma que sua projeção no plano cartesiano x y esteja orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y, z) = (e^z + 5 y^33,, e^z - 5 x^33,, 2 x z + 2 y z) e precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde C é a curva resultante da interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano x + y + z = 1. Além disso, a curva deve ser orientada de forma que sua projeção no plano xy seja anti-horária. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Sabemos que a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano x + y + z = 1 forma uma curva que podemos descrever em termos de x e y. Vamos resolver o plano para z:
z = 1 - x - y
Então, qualquer ponto na curva C pode ser descrito como (x, y, 1 - x - y), onde x^2 + y^2 = 1. Agora, para facilitar a parametrização, vamos usar coordenadas polares no plano xy, já que x^2 + y^2 = 1 representa um círculo de raio 1. Assim, podemos definir:
x = costheta y = sintheta
Com theta variando de 0 a 2pi para completar a curva uma vez na direção anti-horária.

Passo 3

Agora, expressamos z em termos de theta usando a equação do plano:
z = 1 - x - y = 1 - costheta - sintheta
Portanto, a parametrização completa da curva C é:
r(theta) = (costheta,; sintheta,; 1 - costheta - sintheta), 0 <= theta <= 2pi

Passo 4

Para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, precisamos determinar dr. Vamos derivar r(theta) em relação a theta:
drdtheta = (-sintheta,; costheta,; sintheta + costheta) dr = drdtheta dtheta = (-sintheta,; costheta,; sintheta + costheta) dtheta

Passo 5

Agora, vamos substituir F(x, y, z) pela parametrização da curva C:
F(r(theta)) = (e^1 - costheta - sintheta + 5 (sintheta)^33,; e^1 - costheta - sintheta - 5 (costheta)^33,; 2 (costheta)(1 - costheta - sintheta) + 2 (sintheta)(1 - costheta - sintheta))
Simplificando a terceira componente:
2 costheta (1 - costheta - sintheta) + 2 sintheta (1 - costheta - sintheta) = 2 (costheta + sintheta)(1 - costheta - sintheta) = 2 (costheta + sintheta - cos^2theta - sin^2theta - costheta sintheta - sintheta costheta) = 2 ( costheta + sintheta - 1 - 2 costheta sintheta )

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(theta)) cdot drdtheta:
F cdot drdtheta = (e^1 - costheta - sintheta + 5 sin^3theta3) (-sintheta) + (e^1 - costheta - sintheta - 5 cos^3theta3) (costheta) + [2 (costheta + sintheta - 1 - 2 costheta sintheta)] (sintheta + costheta)
Esta expressão pode parecer complicada, mas lembre-se de que iremos integrar em relação a theta de 0 a 2pi.

Passo 7

Antes de integrar, vamos ver se podemos simplificar. Observando o campo vetorial F, notamos que ele parece ter uma estrutura que pode ser relacionada a um potencial escalar, ou seja, pode ser conservativo. Vamos verificar isso calculando o rotacional de F.
O rotacional de F é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z,; partial F1partial z - partial F3partial x,; partial F2partial x - partial F1partial y )
Calculando cada componente:
  1. partial F3partial y = 2 z
    partial F2partial z = e^z
    Então, a primeira componente do rotacional é 2 z - e^z.
  2. partial F1partial z = e^z
    partial F3partial x = 2 z
    A segunda componente é e^z - 2 z.
  3. partial F2partial x = -5 x^2
    partial F1partial y = 5 y^2
    A terceira componente é -5 x^2 - 5 y^2.
Portanto,
nabla times F = (2 z - e^z,; e^z - 2 z,; -5 (x^2 + y^2))
Como o rotacional não é zero, o campo F não é conservativo, então não podemos usar potencial escalar para simplificar a integral. Vamos seguir com a parametrização.

Passo 8

Vamos então prosseguir calculando a integral:
integral0^2pi F cdot drdtheta dtheta
Devido à complexidade da expressão, uma solução mais prática seria observar que podemos aplicar o teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície, o que pode simplificar os cálculos. O teorema de Stokes é dado por:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde S é uma superfície cujo contorno é C e n é o vetor normal a essa superfície.

Passo 9

Escolhemos a superfície S como a porção do plano x + y + z = 1 dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1. Para encontrar o vetor normal n, calculamos o gradiente do plano:
nabla (x + y + z - 1) = (1,; 1,; 1)
Então, n é dado por:
n = (1,; 1,; 1)|nabla (x + y + z - 1)| = (1,; 1,; 1)raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = (1,; 1,; 1)raiz3

Passo 10

Agora, vamos calcular o produto (nabla times F) cdot n:
(nabla times F) cdot n = 1raiz3 ( (2 z - e^z) + (e^z - 2 z) + (-5 (x^2 + y^2)) ) = 1raiz3 (0 - 5 (x^2 + y^2)) = -5raiz3 (x^2 + y^2)

Passo 11

A integral de superfície fica então:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = -5raiz3 integral duplaS (x^2 + y^2) , dS
Como S está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1, podemos usar coordenadas polares para simplificar:
x = r costheta y = r sintheta
E, como estamos no plano x + y + z = 1, a projeção no plano xy é o círculo r <= 1.

Passo 12

A área diferencial em coordenadas polares é dS = r , dr , dtheta. Portanto, a integral se torna:
-5raiz3 integral0^2pi integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta = -5raiz3 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr , dtheta
Integrando em r:
integral0^1 r^3 , dr = r^44 |0^1 = 14
Então:
-5raiz3 cdot 14 integral0^2pi dtheta = -54raiz3 cdot 2pi = -5 pi2raiz3

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é -5 pi2 raiz3.

Exercícios relacionados