Seja o campo .
Determine , onde é a curva dada pela interseção do cilindro e o plano . Oriente a curva de forma que sua projeção no plano cartesiano esteja orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha , onde é a curva resultante da interseção do cilindro com o plano . Além disso, a curva deve ser orientada de forma que sua projeção no plano seja anti-horária. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que a interseção do cilindro com o plano forma uma curva que podemos descrever em termos de e . Vamos resolver o plano para :
Então, qualquer ponto na curva pode ser descrito como , onde . Agora, para facilitar a parametrização, vamos usar coordenadas polares no plano , já que representa um círculo de raio 1. Assim, podemos definir:
Com variando de a para completar a curva uma vez na direção anti-horária.
Passo 3
Agora, expressamos em termos de usando a equação do plano:
Portanto, a parametrização completa da curva é:
Passo 4
Para calcular a integral de linha , precisamos determinar . Vamos derivar em relação a :
Passo 5
Agora, vamos substituir pela parametrização da curva :
Simplificando a terceira componente:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Esta expressão pode parecer complicada, mas lembre-se de que iremos integrar em relação a de a .
Passo 7
Antes de integrar, vamos ver se podemos simplificar. Observando o campo vetorial , notamos que ele parece ter uma estrutura que pode ser relacionada a um potencial escalar, ou seja, pode ser conservativo. Vamos verificar isso calculando o rotacional de .
O rotacional de é dado por:
Calculando cada componente:
Então, a primeira componente do rotacional é .
A segunda componente é .
A terceira componente é .
Portanto,
Como o rotacional não é zero, o campo não é conservativo, então não podemos usar potencial escalar para simplificar a integral. Vamos seguir com a parametrização.
Passo 8
Vamos então prosseguir calculando a integral:
Devido à complexidade da expressão, uma solução mais prática seria observar que podemos aplicar o teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície, o que pode simplificar os cálculos. O teorema de Stokes é dado por:
Onde é uma superfície cujo contorno é e é o vetor normal a essa superfície.
Passo 9
Escolhemos a superfície como a porção do plano dentro do cilindro . Para encontrar o vetor normal , calculamos o gradiente do plano:
Então, é dado por:
Passo 10
Agora, vamos calcular o produto :
Passo 11
A integral de superfície fica então:
Como está dentro do cilindro , podemos usar coordenadas polares para simplificar:
E, como estamos no plano , a projeção no plano é o círculo .
Passo 12
A área diferencial em coordenadas polares é . Portanto, a integral se torna: