( 3,34 pontos) Verifique se a função a seguir é contínua em P(0,0).
f(x, y)=c x sin 1y, se y neq 0 1, se y=0

Passo 1

O enunciado define
f(x,y) = x sin!1y, & se yneq 0,[6pt] 1, & se y=0,
e pede para verificar se f é contínua em P(0,0). Por definição, precisamos checar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e se é igual a f(0,0)=1.]

Passo 2

Para analisar , examinamos duas trajetórias:
(i) Quando , temos
Como implica , pelo Teorema do Confronto segue
(ii) Quando , para todo vale , logo
Como as duas trajetórias dão limites distintos (0 e 1), o limite geral
não existe.

Passo 3

Para continuidade em P(0,0) seria preciso
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=1
Mas vimos que o limite não existe (e, restrito a yneq0, dá 0). Portanto, f não é contínua em P(0,0).

Resposta

A função não é contínua em P(0,0).

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