Determine o trabalho mecânico do campo de forças F(x, y, z)=x y imath+y z jmath+z x k ao se mover uma partícula ao longo do arco c do caminho de equações paramétricas c:lx=t y=t^2 z=t^3, 0 <= t <= 2.
Nenhuma das outras alternativas.
9/20
37 / 60
107 / 210
27 / 28

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de forças
F(x,y,z)=xy,imath+yz,jmath+zx,k
e a curva c parametrizada por
x=t, y=t^2, z=t^3, 0<= t<=2
Queremos calcular o trabalho
W=integralcFcdot dvec r
usando a parametrização e a definição de integral de linha.

Passo 2

Parametrizando, temos
vec r(t)=(t,;t^2,;t^3),
logo a derivada é
vec r,'(t)=l(1,;2t,;3t^2r)

Passo 3

Substituímos na força para obter vec F(vec r(t)):
xy=tcdot t^2=t^3, yz=t^2cdot t^3=t^5, zx=t^3cdot t=t^4,
então
vec F(vec r(t))=(t^3,;t^5,;t^4)

Passo 4

Formamos o produto escalar
vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t) =t^3cdot1 + t^5cdot(2t) + t^4cdot(3t^2) = t^3 + 2t^6 + 3t^6 = t^3 + 5t^6

Passo 5

O trabalho é
W=integral0^2l(t^3+5t^6r),dt =integral0^2t^3,dt +5integral0^2t^6,dt
Calculando cada parte:
integral0^2t^3,dt=t^44|0^2=164=4,
integral0^2t^6,dt=t^77|0^2=1287,
portanto
W=4 +5cdot1287 =4 +6407 =28+6407 =6687

Passo 6

Nenhuma das alternativas dadas ( 9/20,;37/60,;107/210,;27/28) coincide com tfrac6687.

Resposta

Nenhuma das outras alternativas.

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